2021-03-16; 06:30:10.

z-calcul 

КАК СЧИТАТЬ

ЕСЛИ ЭТОТ ТЕКСТ ОСКОРБИТ ЧЬИ-ТО РЕЛИГИОЗНЫЕ ЧУВСТВА, ПРОСТИТЕ - Я ЭТОГО НЕ ХОТЕЛ.

     Связь доли меченых элементов и меченых групп.

     Определение доли зараженных особей по доле зараженных пулов.

     Поиск дозы, вызывающей определенный эффект.

     Оценка влияния диагностических и лечебных мероприятий на риск передачи возбудителей гемотрансмиссивных инфекций.

     Оценка выживаемости сочленов группы по изменению их доли.

     Планирование численности лабораторных популяций живых организмов.

===

Связь доли меченых элементов и меченых групп.

РЭТ-инфо. 2000. N 2. С. 36-38.

[Здесь отредактированный текст. Смысл не изменился, а читать и использовать будет, надеюсь, удобнее. СР. 01.03.2021.]

В научной и практической работе порой возникает потребность узнать долю каким-то образом меченых элементов (особей) притом, что они исследуются не индивидуально, а группами (пулами). Такая потребность возникает при определении зараженности переносчиков в том случае, когда наличие возбудителя регистрируют не в каждой особи, а в пуле из нескольких особей, растертых в однородную массу; при использовании серологических методов определения наличия представителей какого-то вида членистоногих или резистентных особей; при определении доли особей, меченых красителями или радиоактивными соединениями.

Второй тип задач - обратный. В них требуется определить долю меченых пулов по доле меченых элементов (меченым считается пул, содержащий хотя бы один меченый элемент). Например, известен процент бракованных таблеток, а надо узнать процент упаковок, в которых может оказаться бракованная таблетка. Или известна доля зараженных клещей и общее число контактов человека с клещами, и надо узнать вероятность контакта человека с зараженным клещом.

Соотношение доли меченых элементов и доли меченых пулов позволяет решать также задачи третьего типа: определять характер распределения элементов – размещены ли они по пулам случайным образом, сгруппированы или, наоборот, распределены равномерно. Например, если известен процент квартир, в которых есть тараканы, и домов, содержащих хотя бы одну такую квартиру, можно определить влияние характера дома (особенностей его расположения, содержания и т. п.) на возможность заселения его тараканами. (В данном случае элементами являются квартиры, пулами – дома, а метка – наличие тараканов.)

Судя по сообщению М.И. Леви (1994), задача первого типа (определение доли зараженных особей по доле зараженных пулов) впервые была решена К.В. Дурихиным. Он предложил формулу, которая вошла в «Общую инструкцию по паразитологической работе в противочумных учреждениях СССР», Саратов, 1978. На этом работа К.В. Дурихина в данной области прекратилась, а продолжателей, насколько мне известно, не было. А сведений о решении задач второго и третьего типа не удалось найти вовсе.

Цель данной статьи - предложить способы решения перечисленных задач, а также подсобных задач, возникающих при решении основных.

Обозначения

В дальнейшем тексте приняты следующие обозначения:

N - число исследованных пулов.

n - число элементов в пуле (объем пула). Обычно каждый пул содержит одно и то же число элементов. Если их число в разных пулах различно, n – среднее число элементов в пуле.

M - число меченых пулов - тех, в которых найден хотя бы один меченый элемент.

Р – доля меченых пулов; Р = M/N.

Q – доля не меченых пулов; Q = 1-P.

m – число меченых элементов в генеральной совокупности.

р – доля меченых элементов в генеральной совокупности.

q – доля не меченых элементов в генеральной совокупности; q = 1-p.

sqr - корень квадратный.

Связь доли меченых элементов в генеральной совокупности и доли меченых пулов.

При равномерно-случайном распределении доля меченых элементов и доля меченых пулов связаны следующей зависимостью:

(1-P) = (1-p)ⁿ    ………………………………………………………….…………………..  (1)

и, что то же самое, но удобнее для расчетов,

Q = qⁿ   ……………………………………………………………………………………… (1а)

Эта формула позволяет определить ожидаемую долю не меченых пулов по доле не меченых элементов. (Еще раз подчеркну: только при равномерно-случайном распределении элементов по пулам.)

Для обратного расчета (определения доли не меченых элементов по доле не меченых пулов) можно использовать простое преобразование формулы (1а):

q = antilog(logQ/n) …………………………………………………………………………… (2)

Для перехода от немеченых к меченым достаточно помнить, что сумма их долей равна единице; т. е.

P = 1 – Q ……………………………………………………………………………………… (3)

и

p = 1 – q ………………………………………………………………………………………. (3а)

Если использование антилогарифмов вызывает затруднение, можно определять долю меченых элементов по доле меченых пулов с помощью формулы К.В. Дурихина:

p = lg[N/(N-M)]/0.434/n  ……………………………………………………………………… (4)

(Для удобства изложения обозначения и способ написания формулы по сравнению с оригиналом несколько изменены.)

Эта формула представляет собой преобразование формулы (2) с заменой q на 1-p. Она облегчает работу тем, что в ней часть вычислений (в десятичных логарифмах) уже выполнена. Поскольку результат этих вычислений округлен, она дает приближенный ответ. В дальнейшем изложении будут применяться точные формулы (1а) и (2). В них можно использовать логарифмы с любым основанием. В конкретных примерах использованы десятичные логарифмы.

Пример 1. Определение доли меченых элементов по доле меченых пулов. (Решение задачи первого типа.)

Условия: Исследовано 40 пулов по 20 блох. В 5 пулах обнаружен возбудитель чумы. Требуется определить долю блох, зараженных чумой.

Обозначения: N=40, M=5, n=20, Q = 35/40 = 0.875.

Решение: Для определения доли не зараженных особей используем формулу (2)

Вычисления (результаты округлены):

q = antilg(lg0.875/20) = antilg(-0.05799/20) = antilg(-0.0028996) = 0.993.

Для определения доли зараженных особей используем формулу (3а)

p = 1 – q = 1 - 0.993 = 0.007.

Ответ: Доля зараженных блох равна 0.007 (0.7 %).

Пример 2. Определение доли меченых пулов по доле меченых элементов. (Решение задачи второго типа.)

Условия: Исследования показали, что в данном месте в данное время доля инфективных комаров (имеющих спорозоиты малярийного плазмодия в слюнных железах и, потому, способных заражать человека) равна 0.0001 (0.01 %). (Для того, чтобы человек заболел малярией достаточно, чтобы его укусил хотя бы один инфетивный комар.) Человека, находившегося в данном месте в данное время, укусили 20 комаров. Требуется определить вероятность заражения этого человека малярией. Эта вероятность равна доле пулов, содержащих хотя бы одного инфективного комара.

В дальнейшем (для простоты) я буду называть пул, содержащий хотя бы одного инфектиного комара "заразный", а пул, в котором нет инективных комаров - "не заразный".

Обозначения: Пулом в данном случае является группа из 20 комаров (n=20). Доля меченых (инфективных) комаров р = 0.0001. Соответственно, доля не меченых (не инфективных) комаров q=1-р=1-0.0001=0.9999. Вероятность того, что пул окажется заразным, равна P. Эту величину и требуется определить.

Решение: Можно, конечно, определить искомую величину (Р) с помощью формулы (1), но гораздо проще вычислить вероятность того, что пул не заразный, и на этом основании определить вероятность заразного пула.

Вероятность не заразного пула (Q) определяем по формуле (1а), а, затем, вероятность заразного (Р) по формуле (3).

Вычисления (результаты округлены):

Доля не заразных пулов Q = qⁿ = 0.9999²⁰ = 0.998.

Доля заразных пулов P = 1 – Q = 1 – 0.992 = 0.002.

Ответ: В данных условиях доля заразных пулов около 0.2%. Следовательно, вероятность того, что укусы 20 комаров приведут к заражению человека малярией, около 0.2%. Паниковать не стоит.

Определение оптимального размера пула.

Исследование связи доли меченых пулов и меченых элементов позволяет решать вопрос о том, сколько элементов целесообразно объединять в один пул. Когда доля меченых элементов мала, выгодны большие пулы, когда велика – малочисленные. Чтобы снизить затраты труда и получить достаточно значимый результат надо, чтобы доля меченых пулов была близка 0.5. Если есть основания предполагать, какова доля меченых элементов в исследуемой совокупности, объем оптимального пула определяется по следующей формуле:

n=log(0.5)/log(1-p) …………………………………………………………………………….  (5)

Пример 3. Определение оптимального размера пула.

Условия: Ожидаемая зараженность блох чумой в исследуемой популяции близка к 0.005, т.е. 0.5%. Требуется определить оптимальный размер пула.

Решение: Используем формулу (5).

Вычисления (результаты округлены):

n = lg(0.5)/lg(1-0.005) = =-0.30103/lg(0.995) =-0.30103/-0.002177=138.

Ответ: В ожидаемой ситуации оптимальный размер пула 138 особей.

Примечание: Если бы в примере 2 исследовалось не по 20, а по 140 особей в пуле, то мы получили те же самые данные. При этом затраты труда были бы гораздо меньше - потребовалось бы исследовать не 40, а только 5-6 пулов. Но тут подстерегает опасность: малое число исследованных пулов ведет к большой ошибке репрезентативности и, тем самым, снижению точности результата. Целесообразно весь материал делить не менее, чем на 30 пулов. В этом случае ошибка репрезентативности будет не более 1.5%. Для биологических исследований это очень приличная точность.

Формула (5) нужна, главным образом, для того, чтобы не брать слишком большие пулы. Если это сделать, то даже при малой доле меченых элементов все пулы могут оказаться мечеными, и мы получим невразумительный результат. Так, если бы в примере 2 пулы состояли из 600 особей, все 30 пулов (с вероятностью ошибки 0.05) оказались бы зараженными. И вывод был бы: «доля зараженных особей лежит в пределах от 0.5% до 100%».

Статистический анализ

Приведённые выше формулы позволяют определять лишь среднее значение доли меченых элементов и пулов. Это дает мало информации - необходимо знать доверительный интервал полученного результата. Этот интервал удобнее всего вычислять по следующим формулам:

D_min =  {(M+t²/2) - t*sqr[M(N-M)/N+ t²/4]}/(N + t²) ……………………………………….  (6)

D_max = {(M+t²/2) + t*sqr[M(N-M)/N+t²/4]}/(N + t²)  ……………………………………….  (6a)

где

D_min -   нижняя граница доверительного интервала доли,

D_max - верхняя граница доверительного интервала доли,

t - критерий Стюдента для соответствующей вероятности ошибки репрезентативности,

M – число меченых пулов,

N – число исследованных пулов.

Примечание. Если первично определяются не пулы, а элементы, в формулах (6) и (6а) N следует заменить на n (число исследованных элементов), а M на m (число меченых элементов).

Приведенные формулы пригодны для любых соотношений «M» и «N», то есть дают корректный результат в любой точке возможного диапазона: от 0 до 1. Если же доля меченых лежит в диапазоне от 0.3 до 0.7 (от 30% до 70%), хорошее приближение дают более простые формулы:

D_min =  M/N - t*sqr[(MN-M2)/N3]  ……………………………………………………………..  (7)

D_max = M/N + t*sqr[(MN-M2)/N3] ………………………………………………………………. (7a),

где обозначения и примечание те же, что и к формулам (6) и (6а).

Вычислив граничные значения доверительного интервала доли немеченых пулов (Q_min и Q_max), можно определить доверительный интервал доли меченых элементов. Для определения нижней границы доверительного интервала доли не меченых элементов надо в формулу (2) вместо Q подставить Q_nim, а для определения верхней границы - Q_max.

Пример 4. Определение доверительного интервала доли меченых элементов.

Условия: По материалу, описанному в примере 2, определить доверительный интервал доли зараженных блох с вероятностью ошибки не более 0.05.

Решение: Так как доля незараженных пулов (Q = 0.875) лежит вне диапазона 0.3-0.7, для определения доверительных границ используем формулы (6) и (6а). Значение t Стюдента округленно равно 2 (для вероятности ошибки 0.05 и числа степеней свободы N-1=39).

Вычисления (результаты округлены): По формулам (6) и (6а) определяем граничные значения доли не зараженных пулов.

Q_min={(35+2²/2) - 2*sqr[35(40-35)/40 +2²/4]}/(40+2²) = 0.713 (71 %).

Q_max={(35+2²/2)+2*sqr[35(40-35)/40 +2²/4]}/(40+2²) = 0.954 (95 %).

По формуле (2) определяем граничные значения доли не зараженных блох.

q_min = antilg(lgQ_min/n) = antilg(lg0.713/20) = antilg(-0.147/20) = =antilg(-0.0073455) = 0.983

q_max = antilg(lgQ_max/n) = antilg(lg0.954/20) = antilg(-0.020/20) = antilg(-0.0010226) = 0.998

По формуле (3а) определяем граничные значения доли зараженных блох.

Максимальное значение: 1 – 0.983 = 0.017 (1.7 %)

Минимальное значение:   1 – 0.998 = 0.002 (0.2 %)

Ответ: Судя по полученным данным, в исследованной генеральной совокупности не менее 0.2 % и не более 1.7 % блох заражено возбудителем чумы (округленно, с вероятностью ошибки репрезентативности 0.05).

Аналогично решается задача по определению доверительного интервала доли меченых пулов, когда она определяется по доле меченых элементов. На первом этапе по формулам (6) и (6а) или (7) и (7а) вычисляют граничные значения доли не меченых особей, а на втором эти значения подставляют в формулу (1а) и тем определяют граничные значения доверительного интервала доли не меченых пулов. Далее по формуле (3) определяют граничные значения доверительного интервала доли не меченых пулов.

Определение характера распределения метки.

Сравнение доли меченых элементов с долей меченых групп, которые они составляют, позволяет оценить характер распределения метки, разбросана ли она равномерно-случайно, рассеяна ли или сконцентрирована в отдельных пулах. В первом случае соблюдается равенство

log(1-p) = log(1-P)/n ……………………………………………………………………………  (8)

во втором неравенство

log(1-p) > log(1-P)/n  …………………………………………………………………………..   (8а)

в третьем неравенство

log(1-p) < log(1-P)/n …………………………………………………………………………….  (8б)

Пример 5. Определение характера распределения метки.

Условия: В двух популяциях (одна – черных, а другая - серых крыс) исследованы на зараженность чумой блохи, собранные со зверьков. Из каждой популяции взято 10 зверьков, с каждого из которых снято по 10 блох. Каждая блоха исследована индивидуально. В обоих популяциях 15% исследованных блох дали положительный результат, но у черных крыс зараженные блохи найдены на двух зверьках, а у серых - на восьми. Требуется сравнить характер распределения зараженных блох в исследованных популяциях.

Пулом считаются особи, снятые с одного зверька. У черных крыс зараженные пулы составили 20 %, а у серых – 80 %.

Вычисления (результаты округлены):

У черных крыс обнаруживается неравенство:

[lg(1-0.15) =-0.0706] < [lg(1-0.2)/10 = -0.0097],

а у серых - равенство:

[lg(1-0.15) =-0.0706] = [lg(1-0.8)/10 = -0.0699]

Ответ: Полученные данные позволяют предполагать, что у черных крыс зараженные блохи сконцентрированы на немногих зверьках, а у серых рассеяны равномерно-случайно. Это говорит о разнице в интенсивности обмена блохами между зверьками, связи их с источником инфекции и т. д.

Однако такой вывод преждевременен. Если провести статистический анализ, окажется, что доверительные интервалы полученных характеристик перекрываются. Это значит, что обнаруженные различия могли быть вызваны ошибкой репрезентативности - объем выборки недостаточен.

Зависимость метки пула от числа меченых элементов.

Приведенные выше формулы (в том числе и формула К.В.Дурихина) справедливы лишь тогда, когда для метки пула достаточно, чтобы он содержал хотя бы один меченый элемент. Для ситуаций, в которых метка пула возникает лишь тогда, когда число меченых элементов, содержащихся в нем, больше единицы, нужны несколько более сложные расчеты. Общая формула связи доли не меченых пулов (Q) с долями меченых (p) и не меченых (q) элементов такова:

Q = qⁿ + npq^(n-1) + C²_np²q^(n-2) +…+ C^k_np^kq^(n-k) , ……………………………………………..  (9)

где 1, 2 … k – максимальное число меченых элементов в пуле, при котором он остается не меченым.

Собственно говоря, формула (1а) является вариантом формулы (9) для k = 0. Случаи, в которых метка пула возникает лишь тогда, когда число меченых элементов, содержащихся в нем, больше единицы, встречаются редко. По этой причине анализ производных формулы (9) здесь не приводится. Необходимо лишь обратить внимание на возможность такой ситуации. Если в каком–то случае равенство Q = qⁿ не соблюдается, целесообразно воспользоваться формулой (9), чтобы проверить, достаточно ли одного меченого элемента для метки пула. Для этого значение Q сравнивают с многочленом, стоящим в правой части формулы (9), беря последовательно все большее число его членов.

Заключение.

По доле меченых групп (пулов) можно определять не только среднюю долю меченых элементов (что было известно), но и доверительный интервал этого показателя. Предварительные сведения о распространенности метки среди исследуемых элементов позволяет определять оптимальный размер пула. Сопоставление меченности элементов и групп, которые они образуют, дает возможность судить о характере распределения метки и на этой основе делать эпидемиологические, паразитологические и зоологические выводы.

Литература

Леви М.И. Константин Васильевич Дурихин (история одного озарения). Занимательные очерки о деятельности и деятелях противочумной системы России и Советского Союза. М. Информатика. 1994. С. 71-156.

ФОРМУЛЫ

N - число исследованных пулов.

M - число меченых пулов - тех, в которых найден хотя бы один меченый элемент.

Р – доля меченых пулов; Р = M/N.

Q – доля не меченых пулов; Q = 1-P.

n - число элементов в пуле (объем пула). (Обычно каждый пул содержит одно и то же число элементов. Если их число в разных пулах различно, n – среднее число элементов в пуле.)

m – число меченых элементов в пуле.

р – доля меченых элементов в генеральной совокупности; p = m/n.

q – доля не меченых элементов в генеральной совокупности; q = =1-p.

 (1-P) = (1-p)ⁿ …………………………………………………………………………….   (1)

Q = qⁿ  ……………………………………………………………………………………..  (1а)

q = antilog(logQ/n) …………………………………………………………….………….   (2)

P = 1 – Q   ………………………………………………………………………………..   (3)

p = 1 – q  …………………………………………………………………………………..  (3а)

p = lg[N/(N-M)]/0.434/n  ……………………………………………….………………….  (4)

n=log(0.5)/log(1-p) ………………………………………………………………………...  (5)

Dmin =  {(M+t²/2) - t*sqr[M(N-M)/N+ t²/4]}/(N + t²) ……………………………………  (6)

Dmax = {(M+t²/2) + t*sqr[M(N-M)/N+t²/4]}/(N + t²) …………………………………….  (6a)

Dmin =  M/N - t*sqr[(M*N-M2)/N3] ………………………….…………………………...  (7)

Dmax = M/N + t*sqr[(M*N-M2)/N3] ……………………….…………………………….   (7a),

log(1-d) = log(1-D)/n ……………………………………………………………………….  (8)

log(1-d) > log(1-D)/n  ……………………………………………………………………..   (8а)

log(1-d) < log(1-D)/n  ……………………………………………………………………..   (8б)

Q = qⁿ + npq^(n-1) + C²_np²q^(n-2) +…+ C^k_np^kq^(n-k) , ………………………………………   (9)

где 1, 2 … k – максимальное число меченых элементов в пуле, при котором он остается не меченым.

===

Определение доли зараженных особей по доле зараженных пулов.

(Методические рекомендации.)

(Это – почти то же самое, что выше, но упрощенно.)

[Здесь отредактированный текст. Смысл не изменился, а читать и использовать будет, надеюсь, удобнее. СР. 01.03.2021.]

1. Общие положения и область применения

1.1. Настоящие Методические рекомендации предназначены для Центров государственного санитарно-эпидемиологического надзора и других организаций, проводящих исследование зараженности хранителей и переносчиков болезней человека.

1.2. Методы, изложенные в настоящих рекомендациях, позволяют определять:

 долю зараженных особей по доле зараженных пулов;

 долю зараженных пулов по доле зараженных особей;

 оптимальный размера пула;

 характер распределения элементов по пулам;

 статистические характеристики результатов исследований.

2. Термины и обозначения

Пул - группа исследованных особей. Пул считается меченым (зараженным), если в нем содержится хотя бы один меченый элемент (зараженная особь).

N - число исследованных пулов.

M - число меченых пулов.

Р – доля меченых пулов; Р = M/N.

Q – доля не меченых пулов; Q = 1-P.

h - число элементов в пуле. Обычно каждый пул содержит одно и то же число элементов. Если их число в разных пулах различно, h – среднее число элементов в пуле.

n – число исследованных элементов из генеральной совокупности.

m – число меченых элементов в генеральной совокупности.

р – доля меченых элементов в генеральной совокупности; p = m/n.

q – доля не меченых элементов в генеральной совокупности; q = 1-p.

В расчетах можно использовать логарифмы с любым основанием. Поэтому в формулах указаны неопределенные логарифмы (log). В конкретных примерах использованы десятичные логарифмы (lg).

3. Определение доли меченых элементов по доле меченых пулов.

Долю меченых элементов в генеральной совокупности по доле меченых пулов можно вычислять двумя способами.

3.1. Определение доли меченых элементов по доле меченых пулов в 4 этапа.

На первом из них определяют долю меченых пулов по формуле:

Р = M/N …………………………………………………………………………………….   (1)

На втором определяют долю не меченых пулов по формуле:

Q = 1-P ……………………………………………………………………………………..   (2).

На третьем определяют долю не меченых элементов в генеральной совокупности по формуле:

q = antilog(logQ/h)  …………………………………………………………………………  (3).

На четвертом определяют долю меченых элементов в генеральной совокупности по формуле:

p = 1-q  ……………………………………………………………………………………..   (4).

3.2. Определение доли меченых элементов по доле меченых пулов за 1 этап.

Для определения доли меченых элементов по доле меченых пулов за 1 этап используется следующая формула:

p = lg[N/(N-M)]/0,434/h …………………………………………………………….   (5)

Эта формула облегчает работу тем, что в ней часть расчетов уже выполнена. Однако, поскольку результат этих вычислений округлен, она дает приближенный ответ.

Пример 1. Определение доли меченых элементов в генеральной совокупности по доле меченых пулов.

Условия. Исследовано 40 пулов по 20 блох. В 5 пулах обнаружен возбудитель чумы. Требуется определить долю зараженных чумой блох в генеральной совокупности.

Обозначения. В принятых выше обозначениях N = 40, M = 5, h = 20.

Решение. (Округлённо.)

I этап. По формуле (1) определяем долю зараженных пулов:

Р = M/N = 5/40 = 0,125.

II этап. По формуле (2) определяем долю не зараженных пулов:

Q = 1-P = 1-0,125 = 0,875.

III этап. По формуле (3) определяем долю не зараженных особей в генеральной совокупности:

q = antilog(logQ/h) = antilg(lg0,875/20) = antilg(-0,05799/20) = antilg(-0,0028996) = 0,993.

IV этап. По формуле (4) определяем долю зараженных особей в генеральной совокупности:

p = 1-q = 1 - 0,993 = 0,007.

Ответ. В исследованном случае доля зараженных блох в генеральной совокупности равна в среднем 0,007 (0,7 %).

4. Определение доли меченых пулов по доле меченых элементов.

Долю меченых пулов по доли меченых элементов определяют в 4 этапа.

На первом из них определяют долю меченых элементов в генеральной совокупности по формуле:

р = m/n ………………………………………………………………………………………   (6).

На втором определяют долю не меченых элементов в генеральной совокупности по формуле:

q = 1-p ………………………………………………………………………………………..   (7).

На третьем определяют долю не меченых пулов по формуле:

Q = q^h   ………………………………………………………………………………………….  (8).

На четвертом определяют долю меченых пулов по формуле:

p = 1-q ………………………………………………………………………………………..   (9).

Пример 2. Определение доли меченых пулов по доле меченых элементов в генеральной совокупности.

Условия: В какой-то местности собрано 120 клещей I. ricinus. У 30 из них обнаружены возбудители боррелиоза. Известно, что при посещении этой местности за сезон на человека нападает в среднем 4 клеща и что для заражения человека боррелиозом достаточно нападения даже одного зараженного клеща. Определить вероятность заражения людей указанным заболеванием в данных условиях.

Пояснение: Пулом в данном случае является группа клещей, нападающих на человека.

Обозначения. В принятых выше обозначениях n = 120; m = 30; N = 4.

Решение. (Округлённо.)

I этап. По формуле (6) определяем долю зараженных особей в генеральной совокупности:

р = m/n = 30/120 = 0,25.

II этап. По формуле (7) определяем долю не зараженных особей в генеральной совокупности:

q = 1-p = 1 – 0,25 = 0,75.

III этап. По формуле (8) определяем долю не зараженных групп из 4 клещей:

Q = q^h = 0,75⁴  = 0,32.

IV этап. По формуле (9) определяем долю зараженных групп из 4 клещей:

p = 1-q = 1-0,32 = 0,68.

Ответ: В данных условиях вероятность заражения людей боррелиозом в течение сезона равна в среднем 0,68 (68%). Необходимо принять меры.

5. Комбинированный вариант.

В ряде случаев доля меченых пулов одного объема известна (первичные пулы). Требуется определить долю меченых пулов другого объема (вторичные пулы). Задачу подобного рода можно разбить на 2 части. В первой части по известной доле меченых первичных пулов вычислить долю меченых особей в генеральной совокупности. Во второй - по доле меченых особей в генеральной совокупности вычислить долю меченых вторичных пулов. Но можно ограничится и одной формулой:

P_k = 1-{antilog[log(1-M/N)/h]}^k   …………………………………………………………….  (10),

где P_k – доля меченых вторичных пулов,

k – число особей (объем) вторичных пулов,

M, N и h – описанные выше показатели для первичных пулов.

Пример 3. Комбинированный вариант.

Условия: В какой-то местности определяли зараженность комаров возбудителем малярии человека. Их исследовали пулами по 100 штук. Всего исследовано 50 пулов, в 12 из которых обнаружены зрелые спорозоиты. Известно, что за сезон человека кусает не более 20 комаров. Требуется определить вероятность заражения людей малярией в этой местности.

Пояснение:  Фактически, требуется определить вероятность того, что группа из 20 комаров окажется зараженной (т. е. в ней будет хотя бы один инфективный комар).

Значения: N = 50, M = 12, h = 100, k = 20.

Решение подробным способом. (Округлённо.)

I часть – определение доли зараженных особей.

I этап. По формуле (1) определяем долю зараженных пулов:

Р = M/N = 12/50 = 0,24.

II этап. По формуле (2) определяем долю не зараженных пулов:

Q = 1-P = 1-0,24 = 0,76.

III этап. По формуле (3) определяем долю не зараженных особей:

q = antilog(logQ/h) = antilg(lg0,76/100) = antilg(-0,0012) = 0,997.

IV этап излишен т. к. для дальнейших расчетов доля зараженных особей не нужна.

II часть – определение вероятности наличия зараженных особей в группе из 20 комаров.

I и II этапы не нужны, т. к. доля незараженных особей известна из I части. Она равна = 0,997.

III этап. По формуле (8) определяем долю не зараженных групп из 20 комаров.

Q = q^k = 0,997 ²⁰ = 0,94.

IV этап. По формуле (9) определяем долю зараженных групп из 20 комаров.

p = 1-q = 1-0,94 = 0,06 (6%).

Решение сокращенным способом. (Округлённо.)

По формуле (10) имеем:

P_k = 1-{antilg[lg(1-12/50)/100]}²⁰ = 1-[antilg(lg0,76/100)]²⁰  =

=1-[antilg(-0,0012)]²⁰ = 1-0,997²⁰ = 1-0,94 = 0,06 (те же 6%).

Ответ: Каким бы способом мы ни решали задачу, результат, естественно, один и тот же: в данных условиях вероятность заражения людей малярией равна в среднем 6% за сезон. Есть повод для беспокойства, но не для паники.

6. Определение оптимального размера пула

Исследование связи доли меченых пулов и меченых элементов позволяет решать вопрос о том, сколько элементов целесообразно объединять в один пул. Чтобы сократить затраты труда и получить значимый результат надо, чтобы доля меченых пулов была близка 0,5. Если есть основания предполагать, какова доля меченых элементов в исследуемой совокупности, объем оптимального пула определяется по следующей формуле:

h = log(0,5)/log(1-p) ………………………………………………………………………..   (11)

Пример 4. Определение оптимального размера пула.

Условия: Ожидаемая зараженность блох чумой в исследуемой популяции близка к 0,005, т.е. 0,5%. Требуется определить оптимальный размер пула.

Решение. (Округлённо.)

По формуле (11) имеем:

h = lg(0,5)/lg(1-0,005) = -0,30103/lg(0,995) = -0,30103/-0,002177 = =138.

Ответ: В ожидаемой ситуации оптимальный размер пула 138 особей.

Примечание 1. Если бы в примере 2 пул состоял не из 20, а 130-140 особей, то мы получили те же самые данные. При этом затраты труда были бы гораздо меньше - потребовалось бы исследовать не 40, а только 5-6 пулов. Тут, правда, подстерегает опасность: малое число исследованных пулов ведет к большой ошибке репрезентативности и, тем самым, снижению точности результата. Целесообразно весь материал делить не менее, чем на 30-40 пулов. В этом случае ошибка репрезентативности не будет превышать 1,5%. Для биологических исследований это – очень приличная точность. Формула (11) нужна, главным образом, для того, чтобы не брать слишком большие пулы. Если это сделать, то даже при малой доле меченых элементов все пулы могут оказаться мечеными, и мы получим мало вразумительный результат. Так, если бы в примере 1 пулы состояли из 600 особей, все 40 пулов (с вероятностью ошибки 0,05) оказались бы зараженными. И весь вывод, который можно было бы сделать, свелся к тому, что «доля зараженных особей в генеральной совокупности лежит в пределах от 0,5% до 100%».

7. Определение характера распределения метки

Сравнение доли меченых элементов с долей меченых групп, которые они составляют, позволяет оценить характер распределения метки, разбросана ли она равномерно случайно, рассеяна ли или сконцентрирована в отдельных пулах. В первом случае соблюдается равенство

log(1-p) = log(1-P)/h …………………………………………………………………………..  (12)

во втором неравенство

log(1-p) > log(1-P)/h ………………………………………………………………………….   (12а)

в третьем неравенство

log(1-p) < log(1-P)/h …………………………………………………………………………...  (12б)

Пример 5. Определение характера распределения метки.

Условия: В двух популяциях (одна – черных, а другая - серых крыс) исследованы на зараженность чумой блохи, собранные со зверьков. В каждой популяции взято 10 зверьков, с каждого из которых снято по 10 блох. Каждая блоха исследована индивидуально. В обоих популяциях 15% исследованных блох дали положительный результат, но у черных крыс зараженные блохи найдены на двух зверьках, а у серых - на восьми. Требуется сравнить характер распределения зараженных блох в исследованных популяциях.

Пояснение: В данном случае пул составляют блохи, снятые с одного зверька. У черных крыс зараженные пулы составили 20 %, а у серых – 80 %.

Решение. (Округлённо.)

По средним данным у черных крыс обнаруживается неравенство:

[lg(1-0,15) = -0,0706] < [lg(1-0,2)/10 = -0,0097],

а у серых - равенство:

[lg(1-0,15) = -0,0706] = [lg(1-0,8)/10 = -0,0699]

Ответ: Полученные данные позволяют предполагать, что у черных крыс зараженные блохи сконцентрированы на немногих зверьках, а у серых рассеяны равномерно случайно. Это говорит о разнице в интенсивности обмена блохами между зверьками, связи их с источником инфекции и т. п.

Примечание. Такой вывод преждевременен. Если провести статистический анализ, окажется, что доверительные интервалы полученных характеристик перерываются. Это значит, что обнаруженные различия могли быть вызваны ошибкой репрезентативности - объем выборки недостаточен.

8. Зависимость метки пула от числа меченых элементов

Приведенные выше формулы справедливы лишь тогда, когда для метки пула достаточно, чтобы он содержал хотя бы один меченый элемент. Для ситуаций, в которых метка пула возникает лишь тогда, когда число меченых элементов, содержащихся в нем, больше единицы, нужны несколько более сложные расчеты. Общая формула связи доли не меченых пулов (Q) с долями меченых (p) и не меченых (q) элементов в генеральной совокупности такова:

Q = q^h + hpq^(h-1) + C²_hp²q^(h-2) +…+ C^j_hp^jq^(h-j), ………………………………………………..  (13)

где 1, 2 … j – максимальное число меченых элементов в пуле, при котором он остается не меченым; остальные показатели определены выше.

Все приведенные выше формулы являются преобразованием формулы (13) для j = 0. Случаи, в которых метка пула возникает лишь тогда, когда число меченых элементов, содержащихся в нем, больше единицы, встречаются редко. По этой причине анализ производных формулы (13) здесь не приводится. Необходимо лишь обратить внимание на возможность такой ситуации. Если в каком-то случае равенство Q = q^h не соблюдается, целесообразно воспользоваться формулой (13), чтобы определить, сколько меченых элементов достаточно для метки пула. Для этого значение Q сравнивают с многочленом, стоящим в правой части формулы (13), беря последовательно все большее число его членов.

9. Статистический анализ

Приведенные выше формулы позволяют определять лишь среднее значение доли меченых элементов и пулов. Это дает мало информации - необходимо знать доверительный интервал полученного результата. Этот интервал проще всего вычислять по следующим формулам:

P_min =  {(M+t²/2) - t*sqr[M(N-M)/N+ t²/4]}/(N + t²) …………………………………….  (14);

P_max = {(M+t²/2) + t*sqr[M(N-M)/N+t²/4]}/(N + t²)                                                           (15);

где

P_min - нижняя граница доверительного интервала доли меченых пулов;

P_max - верхняя граница доверительного интервала доли, меченых пулов;

t - критерий Стюдента для допускаемой вероятности ошибки репрезентативности;

M – число меченых пулов;

N – число исследованных пулов.

Если первично определяются не пулы, а элементы, надо использовать формулы:

p_min =  {(m+t²/2) - t*sqr[m(n-m)/n+ t²/4]}/(n + t²)  ………………………………………   (16);

p_max = {(m+t²/2) + t*sqr[m(n-m)/n+t²/4]}/(n + t²) ………………………………………….  (17);

где

p_min -   нижняя граница доверительного интервала доли меченых особей;

p_max - верхняя граница доверительного интервала доли меченых особей;

t - критерий Стюдента для допускаемой вероятности ошибки репрезентативности;

m – число меченых особей;

n – число исследованных особей.

Формулы (14) – (17) пригодны для всех вариантов доли меченых пулов и особей, то есть дают корректный результат в любой точке их возможного диапазона (от 0 до 1). Если же доля меченых пулов лежит в диапазоне от 0,3 до 0,7 (от 30% до 70%), хорошее приближение дают более простые формулы:

P_min =  M/N - t*sqr[(MN-M2)/N3] ……………………………………………………….   (18);

P_max = M/N + t*sqr[(MN-M2)/N3]  ………………………………………………………   (19);

где обозначения те же, что и в формулах (14) - (17).

Вычислив граничные значения доверительного интервала доли не меченых пулов (Q_min и Q_max), можно определить доверительный интервал доли меченых элементов. Для определения нижней границы доверительного интервала доли не меченых элементов надо в формулы вместо Q подставить Q_nim, а для определения верхней границы - Q_max.

Пример 6. Определение доверительного интервала доли меченых элементов.

Условия. По материалу, описанному в примере 2, определить доверительный интервал доли зараженных блох с вероятностью ошибки не более 0,05.

Пояснения. Так как доля не зараженных пулов (Q = 0,875) лежит вне диапазона 0,3 ¸ 0,7, для определения доверительных границ используем формулы (18) и (19).

Значение t Стюдента округленно равно 2 (для вероятности ошибки 0,05 и числа степеней свободы N-1 = 39).

Решение. (Округлённо.)

По формулам (6) и (6а) определяем граничные значения доли не зараженных пулов.

Q_min = {(35+2²/2) - 2*sqr[35(40-35)/40 +2²/4]}/(40+2²) =0,713 (71 %).

Q_max = {(35+2²/2)+2*sqr[35(40-35)/40 +2²/4]}/(40+2²) = 0,954 (95 %).

Определяем граничные значения доли не зараженных блох.

q_min = antilg(lgQmin/n) = antilg(lg0,713/20) = antilg(-0,147/20) = antilg(-0,0073455) = 0,983

q_max = antilg(lgQmax/n) = antilg(lg0,954/20) = antilg(-0,020/20) = antilg(-0,0010226) = 0,998

Определяем граничные значения доли зараженных блох:

Максимальное значение: 1 – 0,983 = 0,017 (1,7 %)

Минимальное значение:  1 – 0,998 = 0,002 (0,2 %)

Ответ: В генеральной совокупности не менее 0,2 % и не более 1,7 % блох заражено возбудителем чумы (округленно, с вероятностью ошибки репрезентативности 0,05).

Аналогично решается задача по определению доверительного интервала доли меченых пулов, когда она определяется по доле меченых элементов.

===

2021-03-15; 18:37:16.

Поиск дозы, вызывающей определенный эффект.

Дез. дело. 1998. N 1. С. 67-71.

[Эта статья не только отредактирована, но и дополнена. СР.]

В ходе различных исследований требуется определять значения факторов (их дозы), вызывающие определенный эффект: минимальные эффективные дозировки пестицидов, лекарств, аттрактантов или репеллентов; оптимальную частоту каких-либо действий; допустимые нормы внесения каких-то веществ в определенную среду (ПДК); максимальную переносимую нагрузку; оптимальный ритм работы и т.п. Поиск этих значений целесообразно вести путем последовательного приближения. Даже среднюю летальную дозу, которую принято вычислять по графику "доза-смертность", можно искать последовательным приближением (а когда нет уверенности, что пробит смертности прямо пропорционален логарифму дозы, то и нужно).

Метод поиска путем последовательного приближения описан в общем виде в математических работах. В данной статье приводится формулы, позволяющие решать задачи минимальным числом опытов и, соответственно, с минимальными затратами. Примеры взяты из проблем дезинфектологии. Для того, чтобы использовать их в других исследованиях, никакие изменения не нужны.

Формулы и алгоритмы, изложенные в данной статье, позволяют получить две характеристики значения дозы, вызывающей определенный эффект. А именно: 1) Поле, внутри которого находится искомое значение. 2) Величина срединного значения.

ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

"Фактор" - любое воздействие, результат которого исследуется. Это может быть пестицид, лекарство, рентгеновские лучи, температура, освещённость и т. п.

"Доза" - определенное количество фактора. В данном тексте слово "доза" употреблено в общеязыковом смысле: "определенное количество вещества, энергии и т.п." (Словарь русского языка. Из-во "Русский язык". М. 1981.).

Числовое значение дозы обозначено символом "Д".

Дк - числовые значения доз, которые целесообразно испытать на данном шаге исследования (к - порядковый номер дозы от 1 до Э). Если целесообразно испытать одну дозу, она указана без индекса.

"Искомая доза" - числовое значение дозы, которая даст требуемый результат.

"Эксперимент" (короче: "опыт") - испытание одной дозы. Результат опыта трактуется альтернативно: либо требуемый результат превзойдён, либо - не достигнут. Если результат опыта равен или почти равен (то есть разница не существенна) требуемому эффекту, следует принять эту дозу в качестве срединной (Дс). В этом случае границы поля установить невозможно (да, и не нужно).

Число опытов, выполняемых на одном шаге, обозначено символом "Э". Минимальное число опытов, необходимое для решения задачи путём постановки всех опытов одновременно (на одном шаге) - символом "Эмин".

"Шаг испытаний" (короче: "шаг") - этап работы, на котором испытывается одна доза или несколько доз одновременно.

Минимальное число шагов, необходимое для решения конкретной задачи путём постановки одного опыта на каждом шаге, обозначено символом "Ш".

"Поле поиска" (короче: "поле") - интервал, внутри которого находится (или предполагается) искомая доза. Если, например, установлено, что искомая доза не менее 7 г и не более 14 г., то полем считается промежуток между этими величинами.

Числовое значение нижней границы поля (минимум) обозначено символом "А".

Числовое значение верхней границы поля (максимум) обозначено символом "Я".

"Исходное поле поиска" (короче: "исходное поле") - интервал, внутри которого предполагается искомая доза. Исходное поле исследователь определяет до начала испытаний.

Числовые значения границ исходного поля обозначены "А₀" и "Я₀".

На каждом шаге испытаний поле изменяется. Соответственно изменяются обозначения его границ на "Аш" и "Яш", где "ш" - порядковый номер шага.

"Итоговое поле" - поле, точность которого равна или превосходит требуемую точность.

Числовые значения границ итогового поля, обозначены Амин и Ямакс.

"Точность поля" - отношение его нижней границы к верхней (А/Я). Если, например, А = 7 г., а Я = 14 г., то точность поля равна 7/14 = 0.5.

Числовое значение точности обозначено символом "Т".

"Требуемая точность" - то значение точности, которое устраивает исследователя (задано им).

Числовое значение требуемой точности обозначено символом "Тт".

"Срединное значение искомой дозы" - величина, отношение которой к верхней границе поля равно отношению нижней границы к этой величине (среднее логарифмическое). Если, например, нижняя граница поля равна 7 г., а верхняя - 14 г., то срединным значением искомой дозы будет antilog[(log7+log14)/2].

Срединное значение искомой дозы обозначено "Дс".

Примечание: Вычислять срединное значение имеет смысл только в итоговом поле.

Математические знаки: * - умножение; / - деление. (Знаки сложения и вычитания в расшифровке не нуждаются.)

ФОРМУЛЫ

(Условные обозначения приведены выше.)

Для нахождения характеристик дозы, вызывающей определенный эффект, достаточно следующих формул.

Минимальное число опытов на одном шаге:

Эмин = (logЯш-logАш)/log(1/Т)-1  ……………………..………………………………….…..   (1)

Если вычисление даёт дробную величину, её следует округлить в большую сторону.

Минимальное число шагов при одном опыте на каждом шаге:

Ш = log(Эмин+1)/log2  ………………...…….…………..……………………………………   (2)

Если вычисление даёт дробную величину, её следует округлить в большую сторону.

Дозы, которые целесообразно испытать на данном шаге (при постановке Э опытов):

Дк = antlog[logАш+(logЯш-logАш)/(Э+1)*к]  ………………………………………………  (3)

к - порядковый номер опыта на данном шаге (целое число от 1 до Э).

Доза, которую целесообразно испытать на данном шаге (при постановке одного опыта):

Д = antlog[(logЯш+logАш)/2]  .………………..……………………………………………..  (4)

Срединное значение дозы:

Дс = antilog[(logДмин+logДмакс)/2]  …………..………………………………………..…. (5)

ХОД РАБОТЫ

Сначала надо определить итоговое поле, а потом (на этом основании) срединное значение искомой дозы.

ПОИСК ПОЛЯ

Предварительные установки.

1. В каждом случае следует придерживаться одной (всё равно какой) единицы измерения. (Недопустимо, например, обозначить А в милиграммах, а Я в граммах.)

2. Изменение эффекта дозы пропорционально не абсолютному, а относительному изменению дозы (я не знаю ни одного процесса, где бы закономерность была бы иной). Поэтому в расчётах следует оперировать не абсолютными, а относительными показателями значениями дозы. Проще всего (на мой взгляд) использовать логарифмы. Результаты не зависят от того, какие логарифмы (с каким основанием) используются в вычислениях. (Естественно, что в одной работе надо использовать логарифмы с одним и тем же основанием.) По этой причине в общих частях данной статьи формулы приведены с неопределенным логарифмом (log).

В конкретных примерах использованы десятичные логарифмы (lg).

Можно обойтись без логарифмов. В этом случае надо переписать формулы соответствующим образом, а действовать по тому же алгоритму, как с ними. Результаты не изменятся.

3. Перед началом исследований необходимо задать нижнюю (А₀) и верхнюю (Я₀) границы исходного поля; точность поля, удовлетворяющую цель исследования (требуемая точность); и определить число шагов, за которые планируется решить задачу.

3.1. Границы исходного поля (А₀ и Я₀ ) исследователь задаёт на основании своего знания. Они могут быть любыми, но не равными ни нулю, ни бесконечности. (В нулевом количестве фактор не может действовать, а бесконечное количество не существует.)

3.2. Точность (Тт) задается на основании условий, в которых планируется применение фактора. (Точность не может быть равна ни нулю, ни 1.)

3.3. Выбор числа шагов (Ш) определяет конкретная ситуация - чем меньше шагов, тем больше опытов придется поставить. Общее правило: чем скорее надо получить результат, тем меньше шагов должно быть в испытании (минимальное число шагов - один), а чем дороже опыт и чем меньше времени он требует, тем целесообразнее делать больше шагов..

Ход поиска.

Поиск поля состоит из последовательных шагов испытаний, в результате которых, поле поиска сжимается до тех пор, пока его точность не станет равной или большей требуемой точности (Аш/Яш = Т > = Тт). Когда такое положение достигнуто, первый этап работы закончен - поле заданной точности (итоговое поле) найдено. Его границы: Амин = Аш и Ямакс = Яш

Конкретные варианты поиска показаны на примерах. Они охватывают не все, а только самые частые случаи. (Охватит все случаи невозможно.)

ПРИМЕРЫ

Результаты вычислений округлены. Условные обозначения приведены выше.

ПРИМЕР № 1. Определение (с заданной точностью) поля, в котором находится искомая доза, путем постановки одного опыта на каждом шаге.

Условия: А₀ = 1.0 г.; Я₀ = 100.0 г.; требуемая точность (Тт) = 0.5.

Предварительные расчёты.

Определяем точность исходного поля:

Т = А₀/Я₀ = 1.0/100.0 = 0.01 < Тт = 0.5

Поскольку Т  < Тт, надо провести исследование.

Примечание: Если бы Я₀ было равно = 2.0 г., Т было бы равно 1.0/2.0 = 0.5 = Тт, и исследование было бы не нужно.

Исследование.

I шаг.

Принимаем А₁ = А₀ = 1.0 г. и Я₁ = Я₀ = 100.0 г.

Для вычисления дозы для первого опыта используем формулу (4):

Д = antilog[(logЯш+logАш)/2], в конкретном случае

Д = antilg[(lgЯ₁+lgА₁)/2]. Подставив значения, имеем:

Д = antilg[(lg100+lg1)/2] = antilg[(2+0)/2] = antilg1 = 10.0 г.

Испытываем дозу, равную 10.0 г.

Допустим, что её эффект превзошел требуемый результат.

II шаг.

Принимаем А₂ = А₁ = 1.0 г., а Я₂ = 10.0 г.

Примечание: Если бы требуемый результат не был достигнут, следовало принять А₂ = 10.0 г. и Я₂ = Я₁ = 100.0 г.

Определяем точность найденного поля:

Т = 0.10/1.00 = 0.1. < Тт = 0.5

Поскольку Т<Тт, продолжаем исследование.

Для вычисления дозы для второго опыта используем формулу (4):

Д = antilog[(logЯш+logАш)/2], в конкретном случае

Д = antilg[(lgЯ₂+lgА₂)/2]. Подставив значения, имеем:

Д = antilg[(lg10+lg1)/2] = antilg[(1+0)/2] = antilg(0.5) = 3.1 г.

Испытываем дозу 0.3 г. Допустим, что требуемый результат не достигнут.

III шаг.

Принимаем А₃ = 3.1 г., а Я₃ = Я₂ = 10.0 г.

Определяем точность найденного поля:

Т = 3.1/10.0 = 0.3 < Тт = 0.5

Поскольку Т<Тт, продолжаем исследование.

Для вычисления дозы для третьего опыта используем формулу (4):

Д = antilog[(logЯш+logАш)/2], в конкретном случае

Д = antilg[(lgЯ₃+lgА₃)/2]. Подставив значения, имеем:

Д = antilg[(lg10+lg3.1)/2] = antilg[(1+0.5)/2] = antilg(0.75) = 5.6 г.

Испытываем дозу 5.6 г.

Результат: Если требуемый результат превзойдён, искомая доза лежит в поле от 3.1 г. до 5.6 г. (Дмин = 3.1 г.; Дмакс = 5.6 г.), если нет - в поле от 5.6 г. до 10.0 г. (Дмин 5.6 г.; Дмакс = 10.0 г.).

И в том, и в другом случае точность итогового поля соответствует заданной точности (Т = 3.1/5.6 = 5.6/10.0 = 0.5 = Тт).

===

ПРИМЕР № 2. Определение (с заданной точностью) поля, в котором находится искомая доза, путем постановки нескольких опытов на каждом шаге.

Условия: А₀ = 0.001 г; Я₀ = 100.000 г.; требуемая точность (Тт) = 0.8; на одном шаге (одновременно) можно ставить не более 4 опытов.

Предварительные расчёты.

Определяем точность исходного поля:

Т = А₀/Я₀ = 0.001/100.000 = 0.00001 < Тт = 0.8

Поскольку Т  < Тт, надо провести исследование.

Для вычисления минимального числа опытов при исследовании одним шагом используем формулу (1):

Эмин = (logЯш-logАш)/log(1/Тт)-1, в конкретном случае

Эмин = (lgЯ₁-lgА₁)/lg(1/Тт)-1. Подставив значения, имеем:

Эмин = (lg100.000 - lg0.001)/lg1.25 - 1 = [(2-(-3)]/lg(1/0.8) - 1 = 5/lg1.25 = 5/0.10 - 1 = 50-1= 49.

Чтобы определить поле за 1 шаг потребуется 49 опытов.

Нельзя ли делать за раз (на каждом шаге) по одному опыту?

Для вычисления минимального числа шагов для поиска искомой дозы путём постановки одного опыта на каждом шаге используем формулу (2):

Ш = log(Эмин+1)/log2. В конкретном случае

Ш = lg(Эмин+1)/lg2. Подставив значения, имеем:

Ш = lg(49+1)/lg2 = 1.7/0.3 = 5.7 (Число шагов не может быть дробным. Следует принять 6).

Если на каждом шаге ставить 1 опыт потребуется 6 шагов. Допустим, что это слишком долго.

Поставим на первом шаге 4 опыта (Э = 4; Э+1=5).

Исследование.

I шаг.

Принимаем А₁ = А₀ = 0.001 г. и Я₁ = Я₀ = 100.000 г.

Для вычисления доз для испытания на первом шаге, используем формулу (3):

Дк = antilog[logАш+(logЯш-logАш)/(Э+1)*к], в конкретном случае

Дк = antilg[lgА₁+(lgЯ₁-lgА₁)/(Э+1)*к]

Вычисляем эти дозы:

Примечание: Удобно вычислить общие части уравнений и подставить их значения в каждый расчёт.. Примем Х = lg0.001 = -3; Y =(lg100-lg0.001)/5 = [(2- (-3)]/5 = 1

Подставив значения, имеем:

Д₁ = antilg[X+Y*1] = antilg(-3+1*1) = antilg(-2) = 0.01 г.

Д₂ = antilg[X+Y*2] = antilg(-3+1*2) = antilg(-1) = 0.10 г.

Д₃ = antilg[X+Y*3] = antilg(-3+1*3) = antilg0 = 1.00 г.

Д₄ = antilg[X+Y*4] = antilg(-3+1*4) = antilg1 = 10.00 г.

Испытываем вычисленные дозы. Допустим, что требуемый результат превзойдён при использовании дозы 1.00 г. и 10.00 г. не достигнут при использовании остальных.

II шаг.

Принимаем А₂ = 0.10 г (максимальная доза не давшая требуемого результата), а Я₂ = 1.00 г. (минимальная доза, при которой требуемый результат превзойдён).

Определяем точность найденного поля:

Т = 0.1/1.0 = 0.1 < Тт = 0.8.

Поскольку Т < Тт, продолжаем поиск.

Нельзя ли на этом шаге закончить решение задачи - поставить все нужные опыты?

Для вычисления минимального числа опытов на этом шаге используем формулу (1):

Эмин = (logЯш-logАш)/log(1/Тт)-1, в конкретном случае

Эмин = (lgЯ₁-lgА₁)/lg(1/Тт)-1. Подставив значения, имеем:

Эмин = (lg1.00 - lg0.10)/lg1.25 - 1 = [0-(-1)]/0.1 - 1 = 10 - 1 = 9.

Чтобы определить поле за 1 шаг, надо поставить одновременно 9 опытов, но условия этого не позволяют.

Не стоит ли ставить на каждом шаге по одному опыту?

Для вычисления минимального числа шагов для поиска искомой дозы путём постановки одного опыта на каждом шаге используем формулу (2):

Ш = log(Эмин+1)/log2. В конкретном случае

Ш = lg(Эмин+1)/lg2. Подставив значения, имеем:

Ш = lg(9+1)/lg2 = 1/0.3 = 3.3 (Следует принять 4).

Если на каждом шаге ставить 1 опыт потребуется 4 шага. Допустим, что это слишком долго.

Поставим на этом шаге 4 опыта (Э = 4; Э+1=5).

Для вычисления доз для испытания на этом шаге (где А₂ = 0.10, а Я₂ = 1.00) используем формулу (3):

Дк = antilog[logАш+(logЯш-logАш)/(Э+1)*к];

в конкретном случае

Дк = antilg[lgА₂+(lgЯ₂-lgА₂)/(Э+1)*к].

Вычисляем эти дозы:

Примечание: Удобно вычислить общие части уравнений и подставить их значения в каждый расчёт. Примем Х = lgА₂ = lg0.1 = -1; Y = (lgЯ₂-lgА₂)/(Э+1) = (lg1.0-lg0.1)/5 = [(0- (-1)]/5 = 0.2.

Подставив значения, имеем:

Д₁ = antilg[X+Y*1] = antilg(-1+0.2*1) = antilg(-0.8) = 0.158 г.

Д₂ = antilg[X+Y*2] = antilg(-1+0.2*2) = antilg(-0.6) = 0.251 г.

Д₃ = antilg[X+Y*3] = antilg(-1+0.2*3) = antilg(-0.4) = 0.398 г.

Д₄ = antilg[X+Y*4] = antilg(-1+0.2*4) = antilg(-0.2) = 0.631 г.

Испытываем вычисленные дозы. Допустим, что требуемый результат не достигнут при использовании всех доз.

III шаг.

Принимаем А₃ = 0.63 г. (максимальная доза не давшая требуемого результата, а Я₃ = Я₂ = 1.00 г. - минимальная доза, эффект которой превзошел требуемый результат на предыдущем шаге.

Определяем точность найденного поля:

Т = 0.63/1.00 = 0.63 < Тт = 0.8.

Поскольку Т < Тт, продолжаем поиск.

Нельзя ли закончить исследование, постановкой всех необходимых опытов на одном шаге?

Для вычисления минимального числа опытов на этом шаге используем формулу (1):

Эмин = (logЯ₃-logА₃)/log(1/Тт)-1; в конкретном случае

Эмин = (lgЯ₃-lgА₃)/lg(1/Тт)-1. Подставив значения, имеем:

Эмин = (lg1.00-lg0.63)/lg(1/0.8) - 1 = [0-(-0.2)]/1 - 1 = 2 - 1 =1

В данных условиях для определения поля, в котором находится искомая доза, с заданной точностью достаточно одного опыта (Э=1; Э+1=2).

Для вычисления дозы для опыта на этом шаге (где А₃ = 0.63 г., а Я₃ = 1.00 г.) используем формулу (4):

Д = antilog[(logЯш+logАш)/2] В конкретном случае

Д = antilg[(lgЯ₃+lgА₃)/2]. Подставив значения, имеем:

Д = antilg[(lg1.00+lg0.63)/2] = antilg[0+(-0.20066)/2] = antilg(-0.10033) = 0.79

Испытываем дозу 0.79 г.

Результат: Какой бы эффект ни был получен при испытании этой дозы, ответ на поставленный вопрос найден. Если требуемый результат превзойдён, искомая доза лежит в поле от 0.63 г. до 0.79 г. (Дмин = 0.63 г.; Дмакс = 0.79 г.). Если не достигнут, она лежит в поле от 0.79 г. до 1.00 г. (Дмин = 0.79 г.; Дмакс = 1.00 г.). Оба поля соответствуют заданной точности (Т = 0.63/0.79 = 0.79/1.00 = Тт = 0.8).

===

ПРИМЕР № 3. Определение (с заданной точностью) поля, в котором находится искомая доза, за 1 шаг.

Условия: А₀ = 0.1; Я₀ = 10.0 г/м²; нужна точность (Т) = 0.5; Число шагов (Ш) =1.

Предварительные расчёты.

Определяем точность исходного поля:

Т = А₀/Я₀ = 0.1/10.0 = 0.01 < Тт = 0.5.

Поскольку Т  < Тт, надо провести исследование.

Исследование.

Для вычисления минимального числа необходимых опытов используем формулу (1):

Эмин = (logЯш-logАш)/log(1/Тт)-1; в конкретном случае

Эмин = (lgЯ₀-lgА₀)/lg(1/Тт)-1. Подставив значения, имеем:

Эмин = (lg10-lg0.1)/lg(1/0.5) - 1 = [1 - (-1)]/0.3 - 1 = 2/0.3-1=6.7-1 = 5.7 (Число опытов не может быть дробным. Следует принять Э = 6 (Э+1=7).

Для вычисления доз для испытания используем формулу (3)

Дк = antilog[logАш+(logЯш-logАш)/(Э+1)*к]; в конкретном случае

Дк = antilg[lgА₀+(lgЯ₀-lgА₀)/(Э+1)*к].

Вычисляем эти дозы:

Примечание: Удобно вычислить общие части уравнений и подставить их значения в каждый расчёт. Примем Х = lgА₀ = lg0.1 = -1.0; Y = (lgЯ₀-lgА₀)/(Э+1) = (lg10.0-lg0.1)/5 = [(1-(-1)]/7 = 0.3.

Подставив значения, имеем:

Д₁ = antilg[X+Y*1] = antilg(-1.0+0.3*1) = antilg(-1.0+0.7) = antilg(-0.7) = 0.20 г.

Д₂ = antilg[X+Y*2] = antilg(-1.0+0.3*2) = antilg(-1.0+0.6) = antilg(-0.4) = 0.40 г.

………..

Д₆ = antilg[X+Y*6] = antilg[-1.0+0.3*6] = antilg(-1.0+1.8) = antilg(0.8) = 6.3 г.

Испытываем вычисленные дозы.

Результат: Какие бы данные ни получены, итоговое поле найдено. Его нижней границей (Амин) является максимальная доза, которая не дала требуемого результата, а верхней границей (Ямакс) - минимальная доза, действие которой превзошло требуемый результат. (Удовольствие от вычисления Д₃, Д₄, Д₅ и проверки соответствия точности полученных полей требуемой точности оставляю читателю.)

===

ПРИМЕР № 4. Определение (с заданной точностью) поля, в котором лежит средняя летальная доза (LD-50) за минимальное число опытов. (Для этого придётся делать опыты один за другим, то есть по одному опыту на каждом шаге.)

Условия: А₀ = 0.01 г.; Я₀ = 1.00 г.; требуется точность (Тт) = 0.50.

Предварительные расчёты.

Определяем точность исходного поля:

Т = А₀/Я₀ = 0.01/1.00 = 0.01 < Тт = 0.5.

Поскольку Т  > Тт, надо провести испытания.

Чтобы определить минимальное число шагов, надо сначала вычислить минимальное число опытов при исследовании за один шаг (Эмин).

Для вычисления этого показателя используем формулу (1):

Эмин = (logЯш-logАш)/log(1/Тт)-1; в конкретном случае

Эмин = (lgЯ₀-lgА₀)/lg(1/Тт)-1. Подставив значения, имеем:

Эмин = (lg1.00-lg0.01)/lg2 - 1 = [0 - (-2)]/0.25 - 1 =2/0.25 - 1 = 8 - 1 = 7

Эмин = 7 (Эмин+1 = 7+1 = 8.)

Для вычисления минимального числа шагов используем формулу (2):

Ш = log(Эмин+1)/log2: в конкретном случае

Ш = lg(Эмин+1)/lg2. Подставив значения, имеем:

Ш = lg(8)/lg2 = 0.9/0.3 = 3.

Итог: Для выполнения задачи надо делать 3 шага.

Исследование.

I шаг.

Принимаем А₁ = А₀ = 0.01 г. и Я₁ = Я₀ = 1.00 г.

Для вычисления дозы для первого опыта используем формулу (4):

Д = antilog[(logЯш+logАш)/2], в конкретном случае

Д = antilg[(lgЯ₁+lgА₁)/2]. Подставив значения, имеем:

Д = antilg[(lg1.00+lg0.01)/2] = antilg[(0+-2)/2] = antilg(-1) = 0.10 г.

Испытываем дозу 0.10 г.

Допустим, что в опыте погибло менее 50 % особей.

II шаг

Принимаем А₂ = 0.10 (доза не давшая требуемого результата) и Я₂ = Я₁ = 1.0 г. (максимальная доза, предусмотренная условиями).

Определяем точность найденного поля:

0.10/1.00 = 0.1 < Тт = 0.5.

Поскольку Т< Тт, продолжаем исследование.

Для вычисления дозы для второго опыта используем формулу (4):

Д = antilog[(logЯш+logАш)/2], в конкретном случае

Д = antilg[(lgЯ₂+lgА₂)/2]. Подставив значения, имеем:

Д = antilg[(lg1.00+lg0.10)/2] = antilg{[0+(-1)]/2]} = antilg(-0.50) = 0.32 г.

Испытываем дозу 0.32 г.

Допустим, что в опыте погибло менее 50 % особей.

III шаг.

Принимаем А₃ = 0.32 г., а Я₃ = 1.00 г.

Определяем точность найденного поля:

Т = 0.32/1.00 = 0.32 < Тт = 0.5.

Поскольку Т < Тт, продолжаем поиск.

Для вычисления дозы для третьего опыта используем формулу (4):

Д = antilog[(logЯш+logАш)/2] в конкретном случае

Д = antilg[(lgЯ₃+lgА₃)/2]. Подставив значения, имеем:

Д = antilg[(lg1.00+lg0.32)/2] = antilg[(0+(-0.49)/2] = antilg(-0.25) = 0.56 г.

Испытываем дозу, равную 0.56 г.

Результат: Если от испытанной дозы погибло более 50 % особей, LД-50 лежит в поле от 0.32 до 0.56 г. (Дмин = 0.32 г.; Дмакс = 0.56 г.), если менее - в поле от 0.56 г до 1.00 г. (Дмин = 0.56 г.; Дмакс = 1.00 г.). И в том, и в другом случае итоговое поле найдено. Его точность, не уступающей заданной (Т = 0.32/0.56 = 0.56/1.00 = 0.56 > 0.50).

Определение срединного значения искомой дозы.

Определение срединного значения искомой дозы возможно лишь после того, как найдено итоговое поле. То есть, найдены Дмин и Дмакс.

Эта работа выполняется за один шаг.

ПРИМЕР № 5. Определение срединного значения дозы.

Условия: Дмин = 0.10 мг/кг.; Дмакс = 0.50 мг/кг.

Вычисление. (Результаты округлены.)

Используем формулу (5):

Дс = antilog[(logДмин+logДмакс)/2]; в конкретном случае

Дс = antilg[(lgДмин+lgДмакс)/2]. Подставив значения, имеем:

Дс = antilg[(lg0.10+lg0.50)/2] = antilg{[-1.00 +( -0.30)]/2} = antilg(-1.33/2) = antilg(-0.65) = 0.22.

Проверка: 0.10/0.22 = 0.22/0.50 = 0.5

Результат: Срединное значение дозы равно 0.22 мг/кг.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

1. Исследователь может обнаружить неадекватность исходного поля после первого же опыта и скорректировать его, расширив или сузив в нужную сторону. Возможность использования предлагаемых формул от этого не изменится.

2. Если в опытах возникают парадоксальные результаты (например, смертность от меньшей дозы превосходит смертность от большей дозы), значит биоматериал (животные, растения, микроорганизмы и т. п.), который использован в опытах, чрезвычайно разнообразен или опыты не стандартизированы. В таком случае надо снизить требуемую точность.

3. Если итоговое поле ограничено одной из границ исходного поля, нельзя исключить, что искомая доза лежит вне такого итогового поля. В этой ситуации целесообразно отодвинуть ту границу исходного поля, которая служит границей итогового поля, на величину равную, как минимум, величине итогового поля, и продолжить испытания.

Так, например, если верхняя граница исходного поля равна 10 г., а итоговое поле ограничено 5 г. и 10 г. (Ямакс = Я₀), то целесообразно продолжить поиск в поле от 5 г. до 15 г.

СТАТИСТИКА

Срединное - не значит среднее. Истинное значение искомой дозы может находиться в любой точке итогового поля.

Чтобы определить среднее значение искомой дозы и его ошибку репрезентативности, надо повторить поиск несколько раз (каждый раз в иных границах, не пропорциональных предыдущим) с тем, чтобы получить набор срединных значений, и, затем, проанализировать этот набор стандартными методами статистики. (Изложение этих методов не входит в задачу данной статьи.)

Резюме.

В статье приведены формулы, позволяющие определять значение фактора, обеспечивающего заданный эффект, путём последовательного приближения.

Rasnitsyn S.P.

The seach of effective dose.

The formules to determinate the definite effectivness of the factor's value.

ВОЗВРАТ К ОГЛАВЛЕНИЮ

===

Оценка влияния диагностических и лечебных мероприятий

на риск передачи возбудителей гемотрансмиссивных инфекций.

Врач. 2004. №5. С. 34-37.

 [Здесь отредактированный текст. Смысл не изменился, а читать и использовать будет, надеюсь, удобнее. СР. 01.03.2021.]

Кровь донора может не только спасать жизнь и здоровье реципиента, но и приводить к обратному результату. Одна из причин нежелательных последствий – заражение реципиентов возбудителями болезней, носителями которых могут быть доноры. Разработан ряд мероприятий, направленных на предотвращение передачи возбудителей от донора к реципиенту. Но ни одно из них по отдельности, ни какое их сочетание не гарантирует абсолютной защиты. Они снижают вероятность передачи возбудителей, но риск заражения остаётся.

Неизбежность риска вызвана тем, что в принципе не может быть абсолютно надёжных методов и людей, не совершающих ошибки. Об этом свидетельствует и практика. Так, обследование клиники показало, что в 2002 г. от 0,3 до 16,6 % пациентов заражено гепатитом "В" (таб. 1). И это, несмотря на специальные профилактические мероприятия. То, что заражение связано именно с переливанием крови, следует из самих цифр. Зараженность доноров гепатитом "В" в этот год и предшествующие 5 лет держалась на уровне 1,2 - 1,5%. Благодаря принятым мерам те больные, которым кровь переливали редко (пациенты общей хирургии), были заражены реже доноров. Но те, кто нуждался в неоднократном переливании, при тех же мерах по обеспечению безопасности, были заражены чаще доноров. И чем больше переливаний, тем чаще зараженность. Подобная ситуация описана и в литературе.

Таблица 1. Зараженность пациентов клиники гепатитом "В" в 2002 г.

Эффективность профилактических мероприятий зависит от нескольких факторов. Поэтому выбрать лучший вариант (и, тем более, сочетание вариантов) «на глазок» не просто. Тем более не просто предвидеть результаты в их количественном выражении.

Несмотря на всю важность данной проблемы, в медицинской литературе до сих пор не было публикаций, описывающих методы расчёта риска заражения реципиентов от доноров и эффективности различных профилактических мероприятий (по крайней мере, найти их не удалось).

Цель данной работы – восполнить указанный пробел. В ней описаны методы, позволяющие дать количественный прогноз эффективности разных мероприятий и их сочетаний. Они пригодны для любых контингентов и любых возбудителей. Использование их облегчит выбор средств защиты в каждой конкретной ситуации.

1. Термины и обозначения.

Прежде всего, необходимо пояснить использование терминов "доля" и "вероятность". Эти, разные по смыслу значения, имеют в данной работе одно и то же количественное выражение. Если известна вероятность какого-то события, то доля проявления его в серии повторностей в среднем будет близка этой вероятности. И, обратно, если известна доля проявления какого-то события в серии повторностей, то вероятность его наличия в конкретном случае в среднем близка этой доле.

Пример 1. Если известна вероятность заражения реципиентов, то средняя доля зараженных реципиентов, находящихся в тех же условиях, будет численно близка этой вероятности.

Пример 2. Если известна доля зараженных доноров, то вероятность того, что конкретный донор окажется зараженным, численно близка этой доле.

По этим причинам в данном тексте термины "доля" и "вероятность" используются как синонимы.

«Риск заражения» - Вероятность заражения реципиента кровью донора. Проводимые мероприятия изменяют риск заражения. Его значение в исходном состоянии (до проведения мероприятий) обозначается "R", а то, что мы в праве ожидать после проведения мероприятий - "r".

«Мероприятие» - любое действие, направленное на предотвращение заражения реципиентов.

«Порция крови» - кровь одного донора, которая вводится одному реципиенту за один раз.

«Не заразная кровь» - порция крови, не способная заразить реципиента.

«Заразная кровь» - порция крови, способная заразить реципиента. Исходная доля заразных порций крови обозначается "z_d".

«Не заразный донор" – донор, кровь которого не может заразить реципиента.

«Заразный донор" – донор, кровь которого может заразить реципиента.

«Лечение» - мероприятие, направленное на ликвидацию возбудителя у людей, но не предохраняющее их от повторного заражения. Лечение не всегда охватывает весь контингент доноров, подлежащий лечению, и не всегда приводит к требуемому результату.

«Леченый донор» - донор, подвергнутый лечению.

Вероятность того, что донор прошел лечение обозначается «L_d», что не прошел - «l_d».

«Не леченый донор» - донор, не подвергнутый лечению.

«Вылеченный донор» - донор, который в результате лечения стал не заразным.

«Не вылеченный донор» - донор, который в результате лечения остался заразным. Вероятность того, что лечение донора не дало результата обозначается «b_d».

«Вакцинация» - мероприятие, направленное на предотвращение заражения. Вакцинация не всегда охватывает весь контингент и не всегда приводит к требуемому результату.

«Вакцинированный реципиент» - реципиент, подвергнутый вакцинации. Вероятность того, что реципиент был вакцинирован обозначается «V_r».

«Не вакцинированный реципиент» - реципиент, не подвергнутый вакцинации. Вероятность того, что реципиент не был вакцинирован обозначается «v_r».

«Вакцинированный донор» - донор, подвергнутый вакцинации. Вероятность того, что донор был вакцинирован обозначается «V_d».

«Не вакцинированный донор» - донор, не подвергнутый вакцинации. Вероятность того, что донор не был вакцинирован обозначается «v_d».

«Иммунный реципиент" – реципиент, у которого в результате вакцинации выработан иммунитет.

«Восприимчивый реципиент" – реципиент, у которого в результате вакцинации не выработан иммунитет. Вероятность того, что иммунитет у реципиента не выработан, обозначается "w_r".

«Иммунный донор» - донор, у которого в результате вакцинации выработан иммунитет.

«Не иммунный донор» - донор, у которого в результате вакцинации иммунитет не выработан. Вероятность того, что иммунитет у донора не выработан, обозначается «w_d».

«Сертификация крови» - мероприятие, направленное выбраковку заразной крови. В настоящее время разрабатываются методы обеззараживания крови. В отношении риска заражения они идентичны выбраковке и в данном тексте приравнены к сертификации. Сертификация не всегда охватывает все порции крови и не всегда приводит к требуемому результату.

«Сертифицированная кровь» - порция крови, прошедшая сертификацию. Вероятность того, что порция крови прошла сертификацию обозначается «M». Вероятность того, что порция крови, прошедшая сертификацию, осталась заразной обозначается «c».

«Не сертифицированная кровь» - порция крови, не прошедшая сертификацию. Вероятность того, что определённая порция крови не прошла сертификацию обозначается «m».

«Эффективность мероприятия» - величина снижения риска заражения реципиента. Она обозначается символом "E". Эффективность мероприятий измеряется отношением риска заражения реципиента при отсутствии профилактических мероприятий, к риску его заражения при их проведении, т. е. E = R/r.

2. Условия.

В одной статье нет места для того, чтобы учесть все возможные ситуации. Мы принимаем следующие условия, которые, встречаются чаще всего.

1. В исходной ситуации известна (или предполагается) величина исходной доли заразных порций крови и, отсюда, вероятность того, что конкретная порция является заразной.

Поскольку доля заразных порций крови известна далеко не всегда, в качестве достаточного приближения можно считать её равной доле заразных доноров.

Если таких данных нет, определение риска заражения невозможно.

2. Все реципиенты являются здоровыми (не зараженными) и не иммунными (восприимчивыми). (Для зараженных и иммунных реципиентов риска заражения не существует, т. к. они либо и так заражены, либо защищены иммунитетом.)

3. Вливание заразной крови всегда вызывает заражение реципиента (по определению).

4. Вливание крови иммунного донора не иммунизирует и не лечит реципиента. (Конечно, вливание иммунной крови повышает сопротивляемость организма реципиента, но, как правило, не на столько, чтобы предотвратить заражение.)

5. Распределение переливаемой крови между реципиентами равномерно случайно, то есть не зависит от их индивидуальных особенностей.

3. Риск заражения при отсутствии мероприятий.

Если не принимать никаких мер, то риск заражения реципиента (вероятность получения возбудителя) при переливании ему одной порции крови равен вероятности того, что эта порция заразна. А вероятность того, что конкретная порция крови заразна, равна доле заразных порций крови или (что адекватно) доле заразных доноров. Отсюда

R = z_d   ………………………………………………………………………………….  (1).

При неоднократном переливании (т. е. при использовании нескольких порций крови) вероятность заражения возрастает.

R_n = 1 - (1 - z_d )ⁿ   ………………………………………………………………………… (1a),

где n – число перелитых порций крови.

Даже при малой доле зараженных порций крови многочисленные повторные переливания могут привести к заражению реципиентов. Так, например, если зараженность порций крови равна 0,1 (10%), то лишь трёхкратное её переливание создаст риск заражения, равный, округлённо, 0,27 (27%).

R_n = 1 - (1 - z_d )ⁿ  = 1 – (1 – 0.1)³  = 1 – 0.729 = 0.271. (Округлённо.)

Формула (1a) позволяет определять не только риск заражения. С её помощью можно получить и другие данные. Так, по материалам таблицы 1 можно определить соотношение числа порций крови, перелитых разным пациентам. (Поскольку все они в одной клинике, набор доноров и меры по профилактике заражения кровью были для них, скорее всего, одними и теми же.) Судя по тому, что пациенты общей хирургии заражены вирусом гепатита “B” менее других, кровь им переливали реже всех. Если принять это значение за единицу, риск заражения в данной клинике в данный период был равен 0,003. Пациенты гемодиализа были заражены в доле, равной 0,166. Определяем относительное количество порций крови, перелитой этим пациентам.

n = lg (1 – 0.834) / lg (1 – 0.997) = 60.

Это значит, что пациентам гемодиализа кровь переливали в среднем в 60 раз чаще, чем пациентам общей хирургии. Точно так же можно определить этот показатель и для пациентов других отделений.

4. Риск заражения при проведении профилактических мероприятий

и оценка их эффективности.

Все мероприятия, использующиеся для профилактики заражения кровью доноров, сводятся к воздействию на доноров, на реципиентов и на кровь, предназначенную для переливания.

Доноров можно иммунизировать и лечить. (В настоящее время люди, переболевшие возбудителями, способными к длительному скрытому сохранению в организме, к донорству не допускаются. В экстренных случаях, однако, это правило приходится нарушать. Кроме того, когда и если войдут в практику методы обеззараживания крови, то можно будет использовать и таких доноров. Так что, лечение доноров не стоит сбрасывать со счетов.)

Реципиентов имеет смысл лишь иммунизировать. Лечить их не надо, ведь они, по определению, исходно здоровы. (Нельзя исключить ситуации, когда придётся лечить и реципиентов. Такая потребность может возникнуть в случае переливания заразной крови (или при подозрении, что это произошло). Но такое лечение не имеет отношения к определению риска заражения и, потому, здесь не рассматривается.)

Воздействие на переливаемую кровь ("сертификация") включает в себя выбраковку заразных порций и (или) обеззараживание её.

Как уже указывалось выше, ни одно из мероприятий (и, потом, ни какое их сочетание) не гарантирует абсолютной защиты. Риск заражения остаётся.

При использовании всех мероприятий в комплексе риск заражения реципиента равен вероятности того, что совпадут все неблагоприятные возможности. Т. е., донор окажется исходно зараженным, не вакцинированным и не леченным (или вакцинированным и леченным, но безуспешно). При этом переливаемая кровь не будет подвергнута сертификации, а если будет, то возбудитель не будет уничтожен. В этом случае численное значение риска заражения равно произведению вероятностей каждого из указанных событий. Т. е.

r = zd *(m+M*c)*(v_d+V_d*w_d)*(v_r+V_r*w_r)*(l_d+L_d*b_d)   ………………………………………    (2)

А показатель конкретный эффективность проведённых мероприятий:

E_k = R /r=1/(m+M*c)*(v_d+V_d*w_d)*(v_r+V_r*w_r)*(l_d+L_d*b_d) ……………………………………...  (2a)

Комплекс может состоять не из всех возможных, а лишь нескольких мероприятий или всего лишь одного из них. Для вычисления риска заражения и эффективности не полного набора мероприятий годятся те же формулы (2) и (2a), но в преобразованном виде. Отсутствующие мероприятия надо считать заведомо неуспешными (т. е. вероятность неуспеха равной единице). При этом соответствующая часть каждой формулы (то, что стоит в соответствующей паре скобок) станет равным единице и не будет влиять на конечный результат.

Так, например, если очистка крови не проводится, она, конечно, полностью безуспешна, т. е. вероятность сохранения возбудителя равна единице (с = 1). В этом случае М*с = 1 и, поскольку M+m = 1, всё выражение (m + M*c) = 1.

Соответственно, риск заражения в такой ситуации будет:

r = zd*1*(vd+Vd*wd)*(vr+Vr*wr)*(ld+Ld*bd).

Аналогично изменится и формула эффективности.

Таким способом, преобразуя формулы (2) и (2a), легко оценить риск заражения и эффективность любого набора мероприятий.

5. Эффективность отдельных мероприятий.

Преобразованием формул (2) и (2a) легко вывести риск заражения при использовании только одного мероприятия и его эффективность.

Для только лишь сертификации крови получим:

Риск заражения - r = zd * (m + M*c)

Показатель эффективности - E = 1 /(m + M*c) 

Для только лишь вакцинации доноров:

Риск заражения - r = zd * (vd + Vd*wd)

Показатель эффективности - E = 1/( vd + Vd*wd)

Для только лишь вакцинации реципиентов:

Риск заражения - r = zd * ( vr + Vr*wr)

Показатель эффективности - E = 1 /( vd + Vr*wr)

Для только лишь лечения доноров:

Риск заражения - r = zd * (ld + Ld*bd)

Показатель эффективности - E = 1 /(ld + Ld*bd) 

Рассматривая предложенные формулы, надо отметить чисто математические закономерности, которые из них следуют.

Первая. Если исходный риск заражения отсутствует (R = 0), то эффективность любых мероприятий равна нулю. (Оно и понятно, в такой ситуации мероприятия не нужны.)

Вторая. Если какое-то мероприятие полностью успешно (обеспечивает 100 процентный охват и 100 процентное обеззараживание), то можно ограничиться им одним. В этом случае в формуле (2) то, что стоит в соответствующей паре скобок, станет равным нулю, и произведение всех сомножителей обратится в ноль. Риск равен нулю.

Приведённые закономерности полностью соответствуют здравому смыслу, что является важнейшим аргументом адекватности предложенных способов расчета.

6. Выбор мероприятий.

Формулы эффективности разных мероприятий аналогичны. Во всех случаях эффективность зависит только от полноты охвата и успеха соответствующего мероприятия. Значит, при выборе надо ориентироваться на них. Лучший метод тот, который позволяет охватить "материал" наиболее полно и дать наибольший процент обеззараживания.

Тот факт, что решающих параметров два, позволяет в какой-то степени компенсировать недостаток одного повышением другого. Однако, при низком значении одного из параметров мало смысла гоняться за полнотой другого.

Так, например, если вакцинация обеспечивает только 70% успеха, охватите ли Вы весь контингент или только 99%, результат почти не изменится. В первом случае не иммунных будет 30.0%, во втором - 30.7%. Разница всего в 1.02 раза (на 2%). А сил для того, чтобы "поймать" последнего, приходится тратить, порой, не меньше, чем на всех других вместе взятых.

Иное дело, когда вакцинация обеспечивает, например, 99% успеха. В этом случае полный охват оставит только 1% не иммунных, а 99 процентный - 2%. Разница в 2 раза!

Сравнение условий работы, говорит о том, что наиболее надёжна сертификация крови. Это мероприятие гарантирует наименьшую вероятность ошибок: пропуск порций и возбудителей в них. Поэтому основным методом профилактики должна быть именно сертификация. (Врачи это давно поняли. Наши расчёты подтверждают правильность выбора.)

На втором месте стоит вакцинация реципиентов. Хотя успех этого мероприятия для доноров и реципиентов одинаков, охватить последних проще.

На третье место надо поставить вакцинацию доноров. Она предпочтительней лечения и простотой операции (что позволяет добиться более полного охвата), и, что самое главное, длительностью действия.

Соображения, приведённые выше, относятся к выбору не только отдельных мероприятий, но и их комплекса. В него (по мере надобности и возможности) надо включать наилучшие из отдельных.

При проведении мероприятий по защите реципиентов от заражения кровью доноров надо учитывать не только их эффективность. Не меньшее значение имеют и другие соображения. В первую очередь этические. Если ограничиться только воздействием на реципиентов или на переливаемую кровь, зараженность доноров не изменится. Если же доноры будут вылечены и иммунизированы, мы поможем и им. При этом, конечно, снизится и риск заражения реципиентов.

Нет смысла надеяться, что иммунизация доноров даст экономический результат. Конечно, если бы это мероприятие охватило их всех и успех его был бы полным, отпала бы необходимость сертификации крови и иммунизации реципиентов. Но добиться таких результатов невозможно не только практически, но и теоретически. А раз так, сколько бы доноров мы не иммунизировали, какие вакцины ни применяли, сертификацию крови отменять нельзя.

7. Гарантированный результат.

Все приведённые выше формулы основаны на выборочных или предположительных данных. Поэтому фактический результат может не совпадать с расчётным. Вернее, такое совпадение возможно лишь в редких случаях. Для оценки максимально возможного риска заражения в формулы надо подставить пессимальные значения параметров. А именно: наиболее высокую (из возможных) долю зараженных доноров, наихудшие возможности охвата и обеззараживания крови и т.д. Таким способом мы получим значение гарантированного риска. Т. е. такое, хуже которого быть не может.

Заключение.

При наличии сведений о зараженности доноров возбудителями болезней или (что лучше) зараженности донорской крови, есть возможность рассчитать риск заражения реципиентов. При наличии сведений о полноте охвата и результативности профилактических мероприятий, есть возможность рассчитать их эффективность. Соответствующие формулы приведены в тексте.

===

Оценка выживаемости сочленов группы по изменению их доли.

РЭТ инфо. 2000. N 1. С. 53-55.

[Здесь отредактированный текст. Смысл не изменился, а читать и использовать будет, надеюсь, удобнее. СР. 01.03.2021.]

Хорошо известно, что реакция животных и растений на различные воздействия (в том числе и на средства борьбы) зависит от их видовых, популяционных и индивидуальных особенностей (список некоторых работ на эту тему приведен в конце статьи). Знание чувствительности разных объектов к разным факторам  необходимо и для теории, и для практики биологии (в том числе для дезинсекции и дератизации).

Особенно важно знать реакцию целевых объектов в естественных условиях, при проведении практических мероприятий. Но именно тут мы сталкиваемся с трудностями, которые легко обойти в лаборатории. Дело в том, что в поле мероприятия всегда направлены на группу разнородных особей, т. е. особей разного пола, возраста, физиологического состояния, а, порой, и на представителей разных видов. При этом лишь в редких случаях имеется возможность прямой оценки выживаемости каждого сочлена группы. Обычно определяется лишь соотношение этих сочленов и численность группы, концентрация особей или их обилие.

Например, после обработки водоема, заселенного личинками комаров, можно установить, как изменилась их концентрация и доля особей разных видов и стадий. Или после хранения препарата, состоящего из смеси бактерий разных видов, определить изменение их численности удается не всегда, но можно обнаружить, как изменилось их соотношение.

Если в приведенных примерах нас интересует чувствительность к обработке личинок каждого вида и каждой стадий или устойчивость к хранению каждого вида бактерий, то ограничение анализа только лишь приведенными показателями не достаточно: они свидетельствуют о том, что разница между видами и стадиями имеется, но не дают возможности определить ее величину. В данной статье описан метод, который позволяет это сделать.

Термины и обозначения.

"Группа" - набор особей, подвергнутых воздействию. Обычно это – население одного участка территории, одного водоема, одного здания и т. п. Воздействие может быть губительным, стимулирующим или никаким - в качестве такового выступает время.

Группа состоит из сочленов (компонентов), которых мы различаем по тем или иным характеристикам, влияние которых на выживание требуется определить (видовая принадлежность, пол, возраст, строение генома или любой другой показатель).

Каждый сочлен группы имеет свое имя (для простоты в данной статье оно обозначается буквами "A", "B", "C" и т.д.). Группа может состоять из двух сочленов (двухкомпонентные группы) или большего (любого) их числа (многокомпонентные группы). Однокомпонентные группы не рассматриваются - с ними все ясно.

"Численность" - число особей, за которыми ведется наблюдение. Численность всей группы обозначатся "N" (без индекса), а отдельных сочленов - "Na", "Nb", "Nc" и т.д. соответственно именам сочленов. Чтобы отличить численность до и после воздействия, первая будет иметь перед знаком “N” букву "д" (до), а вторая - "п" (после). Например, число особей вида "I" до обработки инсектицидом - дNi, а после обработки - пNi.

С равным успехом вместо показателя численности могут использоваться показатели концентрации особей или их обилия; они обозначаются тем же символом “N”.

"Доля" - относительное число особей определенного сочлена ко всем особям группы. Доля обозначается: "Дa", "Дb", "Дс" и т.д., соответственно именам сочленов. Т.е. Дi = Ni/N. Чтобы отличить исходную (до воздействия) и конечную (после воздействия) доли, первая будет иметь букву "д", а вторая – букву "п" перед ними. Например, доля особей вида "I" до обработки инсектицидом - дДi, а после обработки - пДi.

"Абсолютная выживаемость" (короче - "выживаемость") - доля особей определенного сочлена, оставшихся после воздействия. Обозначается: "Va", "Vb", "Vс" и т.д., соответственно именам сочленов; выживаемость всей группы - "V" (без индекса). Т.е. Vi = пNi/дNi. Поскольку воздействие может и угнетать численность, и стимулировать ее, выживаемость может быть и меньше, и больше единицы.

"Относительная выживаемость" - отношение выживаемости одного сочлена к выживаемости другого. Обозначение: "Кij",где "i" и " j" - имена сравниваемых сочленов. Т.е. Кij = Vi/Vj и Кji = Vj/Vi, отсюда Кji = 1/Кij.

Пример: В группе из двух видов тараканов (виды "A" и "B") после обработки инсектицидом число особей вида "A" сократилось в 2 раза (Va = 0.5), а особей "B" в 10 раз (Vb = 0.1). В этом случае относительная выживаемость "A" к "B" равна Кab = Va/Vb = 0.5/0.1 = 5 и, соответственно, Kba = 0.1/0.5 = 0.2.

В многокомпонентной группе относительная выживаемость одного сочлена ко всем остальным вместе взятым обозначается - "Кis".

Методы расчета.

Двухкомпонентные группы.

Если известны исходная и конечная доли сочленов, относительную выживаемость можно определить по формуле:

Кij = пДi*(1-дДi)/дДi/(1-пДi)  ………………………………………………………..  (1)

В двухкомпонентной группе сумма долей обоих сочленов равна единице (Дi+Дj = 1), следовательно 1-Дi = Дj. Подставив это равенство в формулу (1), получаем:

Кij = пДi*дДj/дДi/пДj  ……………………………………………………………….   (1а)

Поскольку относительная выживаемость сочленов двухкомпонентной группы величины обратные

Кji = 1/Кij ……………………………………………………………………………..   (2)

и Кij = 1/ Кji …………………………………………………………………………..   (2а)

На рис. 1 приведена номограмма, которая позволяет определять относительную выживаемость в тех случаях, когда доли сочленов не выходят за пределы диапазона 0.05 - 0.95, а относительная выживаемость не ниже 0.1 и не выше 10. Для этого на оси ординат надо отыскать точку, соответствующую исходной доле сочлена “I” (дДi), восстановить из нее перпендикуляр до пересечения с кривой, соответствующей конечной доле этого же сочлена (пДi), и на оси абсцисс (на уровне этого пересечения) прочитать значение относительной выживаемости (Кij).

Из рисунка и приведенных формул следует:

1. Если исходная доля одного из сочленов равна нулю, расчеты невозможны - на ноль делить нельзя (т.е. в однокомпонентной группе нет возможности определить относительную выживаемость).

2. По мере приближения конечной доли одного из сочленов к нулю, его относительная выживаемость приближается к нулю, а относительная выживаемость другого сочлена - к бесконечности.

3. Если исходная и конечная доли одного из сочленов равны, относительная выживаемость равна единице - сравниваемые сочлены одинаково реагируют на воздействие.

Эти выводы само собой разумеются и служат лишь для проверки корректности формул.

А вот вывод, который не всегда учитывается: величина относительной выживаемости зависит не только от разницы исходной и конечной долей, но и от их абсолютного значения.

Пример: Если доля вида "А" увеличилась на 0.25 с 0.1 до 0.35 (другими словами, с 10% до 35%), его выживаемость превосходит таковую другого вида, находившегося в той же группе, в 5 раз; если с 0.5 до 0.75 - в 3 раза, а если с 0.7 до 0.95 - в 8 раз.

Когда известна общая выживаемость группы, то с помощью показателя относительной выживаемости, можно вычислить абсолютную выживаемость каждого сочлена. Для этого служит формула:

Vi = V/[дДi+(1-дДi)/Kij]  ……………………………………………………………   (3)

Поскольку 1-Дi = Дj, эту формулу можно переписать как:

Vi = V/(дДi+дДj/Kij)  ……………………………………………………………….   (3а)

Многокомпонентные группы

Процессы, происходящие в многокомпонентных группах, анализируются путем сведения их к двухкомпонентным. Это достигается тем, что все сочлены, кроме избранного, рассматриваются как единый сочлен (его обозначение "S"). Отбирая один сочлен за другим, можно определить выживаемость каждого.

Примеры. (Результаты округлены.)

Пример 1. Определение относительной выживаемости в двухкомпонентной группе.

Условия: Требуется сравнить выживаемость прусаков и черных тараканов. Известно, что в сборах предыдущих лет прусак составлял 30%, а теперь на его долю приходится 80%.

Обозначения: назовем прусаков сочленом "А", а черных тараканов - "В". Тогда дДa = 0.3, пДa = 0,8, соответственно дДb = 0.7 и пДb = 0,2.

Решение: По формуле (1) имеем:

Кab = пДa(1-дДa)/дДa/(1-пДa) = 0.8(1-0.3)/0.3/(1-0.8) = 9.3(3)

То же дает формула (1а):

Кab = пДa*дДb/дДa/пДb = 0.80.7/0.3/0.2 = 9.3(3)

(Тот же результат можно было найти по номограмме.)

Вывод: В конкретном месте в конкретные годы выживаемость прусака превосходила выживаемость черного таракана более чем в 9 раз.

Пример 2. Определение абсолютной выживаемости в двухкомпонентной группе.

Условия: Требуется определить выживаемость молодых и старых крыс при дератизации. Известно, что мероприятия привели к тому, что общее обилие крыс на объекте снизилась в 2 раза, а доля молодых особей упала с 80% до 60% (соответственно доля старых возросла с 20% до 40%).

Обозначения: назовем старых особей "А", а молодых - "Ю". Тогда дДa = 0.2, пДa = 0.4, дДю = 0.8, пДю = 0.6. Общая выживаемость V = 1/2 = 0.5.

Решение: По формуле (1а) определяем относительную выживаемость старых особей к молодым

Кaю = пДa*дДю/дДa/пДю = 0.4*0.8/0.2/0.6 = 2.6(6).

(Выживаемость старых особей превосходит выживаемость молодых, округленно, в 2.7 раза.)

По формуле (2) определяем относительную выживаемость молодых

Кюа = 1/Кaю = 1/2.6(6) = 0.375 (округленно 0.4)

По формуле (3) определяем абсолютную выживаемость старых особей:

Va = V/[дДa+(1-дДa)/Kaю] = 0.5/[0.2+(1-0.2)/2.7] = 1.0

По той же формуле определяем абсолютную выживаемость молодых:

Vю = V/[дДю+(1-дДю)/Kюa] = 0.5/[0.8+(1-0.8)/0.4] = 0.375

Вывод: после обработки выжило 37.5% молодых особей, а старые не погибли вовсе.

Пример 3. Определение относительной и абсолютной выживаемости в многокомпонентной группе.

Условия: До обработки группы из четырех видов "A", "B", "C", "D" их доли были равны: дДa = 0.1, дДb = 0.4, дДс = 0.2, дДd = 0.3, а после обработки стали равны: пДa = 0.1, пДb = 0.1, пДс = 0.1, пДd = 0.7. Общая численность группы сократилась в два раза (V = 0.5).

Решение для вида "А": Обозначим все виды, кроме "А", как "S" и определим Дs.

дДs = дДb+дДс+дДd = 0.4+0.2+0.3 = 0.9

пДs = пДb+пДс+пДd = 0.1+0.1+0.7 = 0.9

Проще:

дДs = 1- дДa = 1- 0.1 = 0.9 и

пДs = 1- пДa = 1- 0.1 = 0.9

По формуле (1а) определяем относительную выживаемость вида «А» ко всем остальным видам группы.

Каs = пДа*дДs/дДа/пДs = 0.1*0.9/0.1/0.9 = 1.0.

Относительная выживаемость вида «А» равна суммарной выживаемости всех остальных видов группы. Если начальная и конечная доля одного из сочленов группы равны, то его выживаемость равна выживаемости всей группы.

По формуле(3) Определяем абсолютную выживаемость вида «А»:

Va = V/[дДа+(1-дДa)/Kas] = 0.5/[0.1+(1-0.1)/1] = 0.5

Решение для вида "B". Обозначим все виды, кроме "B", как "S". В этом случае дДs = 1-дДb и пДs = 1-пДb).

По формуле (1а) определяем относительную выживаемость: Кbs = пДb*дДs/дДb/пДs = 0.1*0.6/0.4/0.9 = 0.16(6), округленно 0.17.

По формуле (2) определяем абсолютную выживаемость:

Vb = V/[дДb+(1-дДb)/Kbs 0] = 0.5/[0.4+(1-0.4)/0.17] = 0.125.

Аналогичным образом находятся решения для видов "С" и "D".

Ксs = 0.4(4), округленно 0.44.

Vс  = 0.25.

Кds = 5.4(4), округленно 5.44.

Vd  = 1.16(6),  округленно 1.17.

Выводы:

1. В исследованном случае самым чувствительным оказался вид «В» (Кbs = 0.17), более устойчив вид «С» (Ксs = 0.44), еще более устойчив вид «А» (Каs = 1.0), а самый устойчивый – вид "D" (Кds = 5.44).

2. В конкретных условиях от обработки уцелело 50% особей вида "A", 12.5% вида "B", 25% вида "C" и около 117% вида "D" (численность этого вида возросла на 17%).

3. Обработка привела к сокращению общей численности группы, при этом, однако, численности одного из ее сочленов увеличилась.

Статистический анализ.

В практических условиях численность, концентрация и обилие особей, а также соотношение сочленов группы (их доли) определяются выборочными методами. Поскольку результаты выборочных исследований содержат ошибку репрезентативности, ее надо учитывать и в предлагаемом анализе.

Самый простой способ определения доверительного интервала выживаемости (как абсолютной, так и относительной) - вычисление соответствующих показателей по минимальным и максимальным значениями исходных данных (в пределах их доверительного интервала).

Литература

Ганушкина Л.А., Войцик А.А. Чувствительность разных видов и разных стадий личинок комаров к бактериальным препаратам. Мед. паразитол. и паразитарные. болезни. 1986. N 6. С. 55-58.

Гордеев М.И., Бурлак В.А. Инверсионный полиморфизм малярийного комара Anopheles messeae. Сообщение Х. Устойчивость личинок с различными генотипами к токсинам кристаллоборазующей бактерии Bacillus thuringiensis subsp. israilensis (серовар. H14). Генетика. 1991. Т. 27, N  2. С. 238-246.

Дебарьян Х.,  Коз Ж. Сравнительная чувствительность комаров шести различных видов к Bac. thuringiensis var. israilensis. Бюлл. ВОЗ. 1979. Т. 57., N 1. С. 97-99.

Костина М.Н. Зависимость активности трансфлуртина и цифлутрина (пиретроидов нового типа) от препаративной формы и биологии вида. Дез. Дело. 1998. N 4. С. 12-15.

Лиховидов В.Е., Гулий В.В., Радул М.М., Рыбина С.Ю. Восприимчивость различных экологических популяций к микроорганизмам и биопрепаратам. Бюлл. ВПС МОББ, 1987. N 18. С. 41.

Некрасова Л.С. Связь гибели личинок кровососущих комаров в хлорофосе с их биологической неоднородностью. Экология. 1989, N 4, с. 39-46

Расницын С.П., Войцик А.А., Ясюкевич В.В. Сравнение нескольких видов малярийных комаров по реакции на бактериальные инсектициды. Мед. паразитол. и паразитарные болезни. 1991, N 4, C. 6-9.

Сергиева В.П., Грачева Г.В., Расницын С.П. Чувствительность комаров Anopheles к ДДТ и малатиону в зависимости от пола, возраста и питания самок кровью. Мед. паразитол. и паразитарные болезни. 1988, N 4, С. 27-31.

Смирнова А.С., Леви М.И., Ниязова М.В., Капанадзе Э.И., Бромберг А.И., Загроба В.И., Будылина А.А., Кузнецова Р.М., Лауцин А.М., Куркин И.А. Об устойчивости некоторых субпопуляций рыжего таракана (Blatta germanica L.) к неопинамину и другим инсектицидам. Мед. паразитол. и паразитарные болезни. 1979. N 3. С. 60-66.

Rawlings P.,  Mahmood F.,  Reisen W. K. Anopheles culicifacies: the effects of adult body weight and trophic status on dieldrin LT-50 determinations. Mosquito News. 1981. Vol. 41. P. 688-692.

Van Kasea F. W., Hombree S. C. Laboratory bioassay of Bacullus thurigiensis israilensis against all instars of Aedes aegypti and A.taeniorhynhus larvae. Mosq. News. 1980. Vol. 40., N 3. P. 424-431.

WHO. Expert Committee on Vector Biology and Control. Resistans of vectors and reservoirs of desease to pesticides. Tenth report of the WHO Expert Committee on Vector Biology and Control. Wld Hlth Org. techn. Rep. Ser.- N 737.- 1986.

===

ПЛАНИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ

ЛАБОРАТОРНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ.

Дез. Дело. 2005. № 1. С. 51-54.

[Здесь отредактированный текст. Смысл не изменился, а читать и использовать будет, надеюсь, удобнее. СР. 01.03.2021.]

Содержание воспроизводящихся популяций живых организмов в лаборатории широко распространено. (В научном обиходе такие популяции называют "культурами", а их содержание - "культивированием".) Культуры используют для испытания средств борьбы с вредителями, определения способности живых организмов быть возбудителями, хранителями и переносчиками болезней, для изучения их строения, физиологии, экологии, этологии и многих других целей.

Для исследований, на продажу, переселение и в ряде других случаев из культур извлекают часть особей (биоматериал). Чтобы обеспечить необходимое и своевременное получение биоматериала, надо вести культуру по определённому плану.

Литературы, посвященной планированию культур, вероятно очень мало. Несмотря на специальные поиски, мне удалось найти только одну статью, посвященную этой теме [5]. Но она не охватывает всей проблемы - предложенные в ней алгоритмы не включают фактор времени. Для планирования работы с культурой необходимо знать, как изменяется её численности во времени. Как правило, соответствующие знания даются опытом, для приобретения которого требуется много времени, материалов и сил. Проще и на много дешевле использовать расчёты.

В популяционной биологии разработан математический аппарат, описывающий общие закономерности динамики численности популяций [1-4, 6,7]. Однако общие закономерности не имеют прямого выхода к решению задач, связанных с культивированием. Данная работа должна восполнить указанный пробел. В ней показано, как рассчитать изменения численности и выход биоматериала культуры во времени. Методы, изложенные здесь, пригодны для любых организмов от вирусов до млекопитающих.

ПОТЕНЦИАЛ РОСТА ЧИСЛЕННОСТИ КУЛЬТУРЫ.

Для того, чтобы рассчитывать изменение численности культуры и выход биоматериала надо знать потенциал её роста (в дальнейшем, для краткости, он именуется просто «потенциал» и везде обозначен символом "R").

Потенциал показывает, во сколько раз изменится численность культуры за единицу времени, если все получаемые в ней особи идут на воспроизводство. Значение потенциала лежит в пределах от ноля до бесконечности. Если потенциал равен 1, численность популяции стабильна, если он больше 1 - численность растет, если меньше – снижается. Чем быстрее идёт рост численности или его снижение, тем дальше от 1 отстоит значение потенциала в соответствующую сторону.

По определению

R = (N₂/N₁)^1/T………………………………………………………………………………...(1),

где

N₁ - число особей в начальный момент времени,

N₂ - число особей того же возраста в конечный момент времени,

Т - время от начального до конечного моментов.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ЕДИНИЦ ВРЕМЕНИ.

Время можно измерять в любых единицах: часах, сутках, годах и т.п. Смысл от этого не меняется. Но численное значение потенциала зависит от выбранной единицы времени. Поэтому, называя значение потенциала, надо указывать какой единице времени он соответствует. (Единственное исключение: если R=1, его значение не зависит от единицы времени.) В одной работе целесообразно придерживаться одной единицы времени.

Переход от одних единиц времени к другим легко осуществить с помощью следующего соотношения:

R_j = R_i^j/I   …………………………………………………………………………………. (2),

где i и j - различные единицы времени, приведённые к одному знаменателю.

Пример 1. Переход от одних единиц времени к другим.

Условия: Годовой потенциал культуры равен 1000.

Задача: Определить месячный потенциал.

Решение: Используем формулу (2) R_j = R_i^j/i  .

Приводим единицы времени к одному знаменателю - считаем год как 12 месяцев.

Подставляя значения, имеем R_м  = 1000^1/12. (Индекс "м" означает "месяц.)

Логарифмируя, получим: lgR_м = 1/12*3 = 0,25. Отсюда R_м = 10^0,25 = 1,78. (Округлённо.)

Ответ: Если годовой потенциал равен 1000, то месячный равен, округлённо, 1,78.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ КУЛЬТУРЫ.

Численность культуры можно выражать как числом особей, так и числом контейнеров с ними (если, конечно, различие в числе особей в разных контейнерах не имеет существенного значения). Подсчёт контейнерами часто используют микробиологи. Количество микроорганизмов они выражают числом засеянных чашек Петри, флаконов или других сосудов. Удобен этот способ и в культурах членистоногих. Так численность блох и тараканов выражают числом банок с ними, численность комаров – числом садков с имаго, кювет с личинками и т. п. Расчёты, связанные с планированием культур, не зависят от способа подсчёта. В дальнейшем изложении численность указана в особях, но те же формулы, примеры и типовые задачи с тем же успехом можно отнести и к контейнерам. Тогда только пришлось бы писать не «число особей», а «число контейнеров с особями».

Для того, чтобы использовать формулы расчёта, численность культуры надо выразить одним числом. Если фазовый, половой и возрастной состав культуры не меняется во времени, определение её численности не вызывает затруднений – она равна числу имеющихся особей (или, как сказано выше, контейнеров с ними). В большинстве случаев, однако, состав культуры не постоянен. То преобладают споры, то вегетативные клетки; то яйца, то личинки, то имаго; то молодые особи, то половозрелые. В таких случаях, чтобы выразить численность культуры одним числом, надо "привести" всех особей к одному состоянию. Это достигается использованием коэффициента эквивалентности. Он показывает, какое число особей последующего состояния ("потомков") могло быть получено от имеющихся особей и, обратно, какое число особей предыдущего состояния ("родителей") необходимо для получения имеющихся. Выражаясь математически:

N_f2 эк N_f1*К  ………………………………………………………………………………. (3),

где

эк - знак эквивалентности;

N_f1 - число особей данного состояния;

N_f2 - число особей того состояния, по отношению к которому ведется расчет;

К - коэффициент эквивалентности.

Когда коэффициент эквивалентности вычисляется по отношению к потомкам,

К_п = v  …………………………………………………………………………………….  (4a),

а когда по отношению к родителям,

К_Р = 1/v     ………………………………………………………………………………    (4b),

где

К_п   -  коэффициент эквивалентности по отношению к потомкам;

К_Р  -  коэффициент эквивалентности по отношению к родителям;

v - выживаемость особей от состояния родителей до состояния потомков.

Сложив число особей каждого состояния с соответствующим коэффициентом эквивалентности, получим «приведённую численность культуры» (короче - "численность"), с которой можно работать. К какому состоянию особей приводить значение численности культуры, роли не играет. Важно лишь, чтобы при решении одной задачи приведение велось к одному и тому же состоянию.

Вычисление приведённой численности показано в примерах 2 и 3.

Пример 2. Определение численности культуры приведением к потомкам.

Условия: В культуре имеется 100 молодых и 20 старых самок. За период старения вымирает 0,9 (90%) особей, т. е. выживаемость равна 0,1 (10%).

Задача: Определить численность культуры, приведением к старым самкам.

Решение:

1) Определяем коэффициент эквивалентности молодых самок к старым. Поскольку старые самки по отношению к молодым последующего состояния, их надо считать потомками. Поэтому используем формулу (4a)  К_п = v.

Подставляя значение, имеем К_п = 0,1. То есть 1 молодая самка эквивалентна 0,1 старой самки.

2) Определяем приведённую численность молодых самок по формуле (3) N_f2 эк N_f1*К.

Подставляя значение, имеем N_f2 эк 100* N_f1*0,1. Откуда следует, что 100 молодых самок эквивалентны 10 старым.

3) Определяем численность культуры, приведённую к старым самкам. Для этого надо сложить приведённое число молодых самок (10) и реальное число старых (20 особей). 10+20=30.

Ответ: Численность культуры, приведённая к старым самкам равна 30.

Пример 3. Определение численности культуры приведением к родителям.

Условия: В культуре имеется 100 молодых и 20 старых самок. За период старения выживает 0,1 особей (условия те же, что в примере 2).

Задача: Определить численность культуры, приведением к молодым самкам.

Решение:

1) Определяем коэффициент эквивалентности старых самок к молодым. Поскольку молодые самки по отношению к старым предыдущего состояния, их надо считать родителями. Поэтому используем формулу (4b) К_п = 1/v.

Подставляя значение, имеем К_п = 1/0,1 = 10. То есть 1 старая самка эквивалентна 10 молодым.

2) Определяем  приведённую  численность старых самок по формуле (3) N_f2 эк N_f1*К. Подставляя значение, имеем N_f2 эк 20* N_f1*10. Откуда следует, что 20 старых самок эквивалентны 200 молодым.

3) Определяем общую приведённую к молодым самкам численность культуры.

Для этого надо сложить приведённое число старых самок (200) и реальное число молодых (100 особей). 200+100=300.

Ответ: Численность культуры, приведённая к молодым самкам равна 300.

Примечание. То, что численность культуры, приведённая к разным состояниям особей, имеет разное значение, не должно удивлять. Этот результат аналогичен выражению цены одного и того же товара в копейках или рублях. Только удав думает, что в попугаях он больше.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА КУЛЬТУРЫ

ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ЕЁ ЧИСЛЕННОСТИ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ.

Если численности культуры изменяется с постоянной скоростью, её потенциал можно определить по формуле (1). Как это сделать показано в примере 4.

Пример 4. Определение потенциала культуры при изменении её численности с постоянной скоростью.

Условия: За 30 суток численность культуры, из которой биоматериал не изымался, увеличилась с 100 до 1000 особей.

Задача: Определить суточный потенциал этой культуры.

Решение: Используем формулу (1) R = (N₂/N₁)^1/T

Подставляя значение, имеем R = (1000/100)^1/30.

Логарифмируя, получим: lgR = 1/30*lg10 = 0,033. Отсюда R = 1,08. (Округлённо.)

Ответ: Суточный потенциал данной культуры равен, округлённо, 1,08.

В большинстве случаев изменение численности культуры происходит не равномерно. В периоды размножения численность культуры растет, а вне их сокращается. К тому же и рост, и сокращение численности происходят в разные периоды с разной скоростью. По этой причине её потенциал меняется во времени и определять его по формуле (1) не имеет смысла. Для таких культур потенциал надо определять для поколения в целом. Чтобы это сделать, надо знать размножаемость конкретной популяции (r) и продолжительность поколения (d).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМНОЖАЕМОСТИ.

Размножаемость зависит от доли самок в потомстве, плодовитости - числа новорожденных потомков (у яйцекладущих - яиц) от одной особи (у разнополых организмов – от 1 самки) и выживаемости особей (у разнополых организмов – самок) - доли тех, кто дожил до репродуктивного возраста. Соответствующая формула выглядит так.

r = аFV  …………………………………………………………………………………   (5),

где

r – размножаемость;

а - доля самок в потомстве. (У бесполых и гермафродитных организмов a = 1 и, значит, этот показатель можно не учитывать.) 

F – плодовитость;

V – выживаемость.

Пример 5. Определение размножаемости.

Условия: В культуре самки и самцы родятся в равном числе (т. е. a = 0,5), от яйца до начала репродуктивного возраста доживает 80% самок (V = 0,8), за жизнь самка откладывает в среднем 100 яиц (F = 100).

Задача: Определить размножаемость данной культуры.

Решение: Используем формулу (3) r = аFV.

Подставляя значение, имеем r = 0,5*100*0,8 = 40.

Ответ: Размножаемость данной культуры равна 40, т. е. за поколение её численность возрастает в 40 раз. (Напомню: при отсутствии изъятия).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ПОКОЛЕНИЯ.

Продолжительность поколения определяется как среднее время от появления новорождённой особи (у яйцекладущих - яйца) до окончания её репродуктивного возраста.

d = (t₁+t₂+ … t_n)/n    ………………………………………………………………….   (6),

где

d - продолжительности поколения;

t – продолжительность жизни каждой особи;

n – общее число исследованных особей.

Пример 6. Определение продолжительности поколения.

Условия: В культуре исследовано 200 особей, продолжительность жизни 20 особей равнялась 10 суткам, 50 особей – 11 суткам, 100 особей – 12 суткам и 30 особей – 13 суткам.

Задача: Определить продолжительности поколения.

Решение: Используем формулу (6).

Подставляя значение, имеем d = (10*20+11*50+12*100+13*30)/200 = 11,7.

Ответ: Продолжительности поколения в данной культуре равна 11,7 суток. (В среднем.)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА КУЛЬТУРЫ

ПРИ ЛЮБОМ ХАРАКТЕРЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЕЁ ЧИСЛЕННОСТИ.

Когда размножаемость и продолжительность поколения известны, формула (1) приобретает иной вид. Поскольку N₂  = rN₁, а T = d,

R = (rN₁/N₁)^1/d = r^1/d      ………………………………………………………….    (7),

где

r – размножаемость;

d - продолжительность поколения;

N₁  - исходная численность поколения.

Пример 7. Определение величины потенциала через размножаемость и продолжительность поколения.

Условия: Размножаемость культуры равна 40, а продолжительность поколения – 20 суток.

Задача: Определить суточный потенциал.

Решение: Используем формулу (7) R = r^1/d .

Подставляя значение, имеем R = 40^1/20.

Логарифмируя, получим: lgR = 0,05*lg40. Откуда R = 1,2. (Округлённо.)

Ответ: Суточный потенциал культуры равен, округлённо, 1,2.

ЗАМЕЧАНИЕ ПО СТАТИСТИКЕ.

Хотя условия в культурах обычно стабильны, потенциал роста численности всё же колеблется от поколения к поколению. Поэтому целесообразно определить его несколько раз и использовать для расчётов минимальное значение (для гарантии). Если же условия культивирования не постоянны, потенциал роста надо определять для каждого периода.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

(Во всех задачах предполагается, что методы и условия поддержания культуры неизменны.

Результаты вычислений округлены.)

Задача 1. Определить какой численности достигнет культура к заданному времени при отсутствии отбора биоматериала.

Формула: N₂  = N₁ * R^T.

Пример: Численность культуры с суточным потенциалом R = 1,17, равна 10 (N₁=10). Определить её численность через месяц (T=30 суток).

Решение: N₂  = 10*1.17³⁰ = 1111.

Ответ: Численность культуры через месяц будет равна, округлённо, 1111.

Задача 2. Определить время, к которому культура достигнет заданной численности при отсутствии отбора биоматериала.

Формула: T = (lgN₂ - lgN₁)/lgR.

Пример: Численность культуры с суточным потенциалом R = 1,17, равна 10. Определить, когда её численность достигнет миллиона.

Решение: T = (lg1000000-lg10)/lg1.17 = (6-1)/0,068 = 73,5.

Ответ: Численность культуры в миллион особей будет достигнута примерно через 73-74 суток.

Задача 3. Определить долю особей (Х), которых нужно оставлять на воспроизводство, чтобы к заданному времени культура достигла заданной численности.

Формула: Х = (N₂ /N₁)^1/T/R.

Пример: Численность культуры с суточным потенциалом R = 1,17, равна 10. Определить какую долю особей надо оставлять на воспроизводство, чтобы через год (365 суток) ее численность достигла миллиона.

Решение: Х = (1000000/10)^1/365/1,17 = 0,88.

Ответ: Для достижения цели надо оставлять на воспроизводство, округлённо, 88% особей.

Задача 4. Определить долю биоматериала (Y), которую можно ежесуточно изымать из культуры с тем, чтобы ее численность оставалась на одном уровне.

Формула: Y = 1-1/R.

Пример: Имеется культура с суточным потенциалом R = 1,17. Определить, какую долю особей можно использовать в качестве биоматериала.

Решение: Y = 1-1/1,17 = 0,145.

Ответ: В качестве биоматериала можно ежесуточно изымать около 14,5% особей.

Примечание. В задачах 3 и 4 речь шла о ежесуточном отборе, поэтому в расчётах использован суточный потенциал. Если требуется определить возможность отбора за другой промежуток времени, надо использовать значение потенциала за этот промежуток.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Использование потенциала роста численности позволяет рассчитывать изменение численности культуры во времени и объем биоматериала, который можно извлекать из неё.

ЛИТЕРАТУРА

1. Варли Дж.К.,Градуэл Дж.Р., Хассел М.П. Экология популяций насекомых. М., Колос. 1978. С. 1-222.

2. Дажо Р. Основы экологии.  М. Прогресс. 1975. С. 1-416.

3. Коли Г. Анализ популяций позвоночных. М., Мир, 1979, С.1-362.

4. Одум Ю. Основы экологии. М., Мир. 1975, С. 1-740.

5. Расницын С.П. Алгоритмы для расчета размеров культур насекомых. Мед. паразитол. 1982. N 3, С. 37-42.

6. Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. М. Мир. 1971. С. 1-464.

7. Чернышев В.Б. Экология насекомых. Учебник. М. Изд-во МГУ, 1996. С. 1-304.

Резюме

Предлагается показатель, характеризующий темп роста численности культур живых организмов во времени. Приведены способы расчёта этого показателя и, на основе его, изменения численности культур и входа биоматериала.

Planning of laboratories population living organisms.

It was proposed the index, characterizing the temp of growth of the organisms numbers, the method of its calculation and examples of its using for cultures planning, determination of production value.

ВОЗВРАТ К ОГЛАВЛЕНИЮ